Аналитическая геометрия. Несколько вопросов

citromon · Сообщение **citromon** » 15 май 2012, 18:44

Доброго времени суток.

Подскажите, пожалуйста, как решить этот пример.

Как методом Лагранжа привести к каноническому виду?
$$5x^2+2y^2+5z^2-4xy-4yz-2zx+10x-4y+2z+4=0$$

mihailm · Сообщение **mihailm** » 15 май 2012, 19:42

выпишите все слагаемые с иксом

citromon · Сообщение **citromon** » 15 май 2012, 21:03

Спасибо за ответ.

$$5x^2-4xy-2zx+10x$$

Что делать дальше?

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 15 май 2012, 21:20

См. сюда: [url=http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%E5%F2%EE%...F3_%E2%E8%E4%F3]http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%E5%F2%EE%...F3_%E2%E8%E4%F3[/url]

citromon · Сообщение **citromon** » 15 май 2012, 21:34

Я этот линк просматривал задолго до создания темы. Ничего не ясно.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 16 май 2012, 08:31

citromon писал(а):Source of the post
Я этот линк просматривал задолго до создания темы. Ничего не ясно.

Смысл там простой. Вхождение переменной $$x_1$$

в выражение квадратичной формы $$Q(x_1,x_2,...,x_n)$$

имеет вид:
$Q=a_{11} x_1 ^2+Ax_1+B$ ,
где: $$A$$

и

от

не зависят, но:
$a_{11} x_1 ^2+Ax_1+B=a_{11}(x_1+(1/2a_{11})A)^2-(1/4a_{11})A^2+B$
Если теперь обозначить:
$Q_1=-(1/4a_{11})A^2+B$ , то:
$Q=a_{11}(x_1+(1/2a_{11})A)^2+Q_1$ ,
при этом: $$Q_1$$

от

не зависит.
Сделав теперь замену: $u_1= (x_1+(1/2a_{11})A)$ , сводим задачу к приведению к каноническому виду формы с на 1 меньшим числом аргументов $$Q_1$$

В Вашем конкретном случае mihailm начал Вам подсказывать эти последовательные действия:
$$Q=5x^2+2y^2+5z^2-4xy-4yz-2zx+10x-4y+2z+4=5(x^2-(2/2*5)(4y+2z-10)x)+...=$$

первая замена будет:
$$u_1=x-(1/2*5)(4y+2z-10))$$

, и:

.

от

не зависит и процедуру повторяем для остальных переменных.

citromon · Сообщение **citromon** » 04 июн 2012, 18:38

Спасибо за ответ, ALEX165.

Подскажите, пожалуйста, как найти координаты точки, симметричной лежащей на квадрике точке относительно данной квадрики?

Т.е. дана точка P, лежащая на квадрике. Как найти координаты точки Q, симметричной точке P относительно данной квадрики?

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 04 июн 2012, 19:08

То есть надо найти точку на данной квадрике, симметричную для данной точки на той же квадрике, относительно главных осей этой квадрики.
Так?

citromon · Сообщение **citromon** » 04 июн 2012, 19:11

Да, так.

Может, кто-нибудь хотя бы идею подкинет?

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 05 июн 2012, 05:46

citromon писал(а):Source of the post
Да, так.

Тогда, прежде всего, если квадрика Вам задана в евклидовом пространстве как геометрический объект, надо ортогональным преобразованием и сдвигом привести её к каноническому виду и тем самым найти её главные оси.
А затем искать симметричные точки относительно этих осей - одной, двух и трёх. Симметричная точка относительно одной оси получается как решение совместно уравнения этой квадрики и ур-я прямой, проходящей через заданную точку и перпендикулярную оси (проходящую через эту ось)... А можно просто проверить, принадлежит ли квадрике точка, у которой две остальные координаты равны соответствующим координатам заданной точки с обратным знаком (в координатной системе главных осей).

yourdomain.com