что будет с цистерной?

lapay · Сообщение **lapay** » 23 мар 2012, 12:09

ALEX165 писал(а):Source of the post
Да, понятно, но так ли будет с водой? Аналог - шарики кроме отражения вниз зацепятся за стенку вертикальной части трубы и уже отразятся в соответствии с текущей скоростью цистерны. Для шариков, чтобы отражение было вертикально вниз, отражатель надо наклонять в соответствии с текущей скоростью цистерны (тележки), соответствует ли это вытеканию воды?

Отверстие в цистерне тоже может быть разным: с вертикальной трубкой или просто дырка в дне. Второй случай почти ничем не отличается от отверстия в задней вертикальной стенке, когда после вытекания воды цистерна точно будет двигаться. А если вертикальная трубка есть, то вытекающая вода будет получать горизонтальную составляющую скорости, равную текущей скорости цистерны.

Тогда картина будет другой.
Возьмём идеальную жидкость (вода вполне подходит). В аналоге это будет означать, что скорость шариков относительно полотна, после начала движения, не зависит от скорости тележки. Поток шариков аналогичен неизменному расходу жидкости. Получаем
$F=\frac{M_b(V+v)^2}{L}}=-\frac{dvM_t}{dt}$
Из этого уравнения следует, что скорость цистерны $$v$$

плавно меняется в одну сторону. Хотя вектор скорости цистерны и поменяет направление один раз, но это трудно назвать колебаниями. После того, как все шары выпадут из тележки, она будет двигаться в сторону люка.
По-видимому, похожая картина будет и для цистерны с водой.

Rbj · Сообщение **Rbj** » 23 мар 2012, 12:54

AlexLAV писал(а):Source of the post
Поделитесь, пожалуйста, если есть у кого какие соображения по поводу такой вот задачки:

Цистерна с водой стоит на рельсах. Возле одного из торцевых концов цистерны есть вертикальная сливная труба, закрытая краном. Что произойдет с цистерной, если кран открыть? Естественно, считается, что никакого трения нет.

Я рассуждал так: допустим, она поедет куда-то. Но, поскольку она движется вместе с водой, у системы "цистерна+вода" появляется горизонтальный импульс. Но этого не может быть, т.к. на эту систему действуют только вертикальные силы.

Тогда, получается, вроде, что она должна остаться на месте. Но в этом случае центр масс цистерны тоже останется на месте, а вот центр масс воды, после того, как она вся вытечет, переместится в точку на поверхности прямо под трубой. А это значит, что центр масс всей системы сместится по горизонтали. Чего тоже не может быть.

Так что же все-таки произойдет с цистерной?

останется на месте центр масс цисцерна +вода смещается вертикально импульс вертикальный а если рассматривать центр масс вода +цисцерна+земля то смещение центрамасс такой системы практически неподвижен

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 23 мар 2012, 13:17

zykov писал(а):Source of the post Ну да, если процесс будет бурный и в цестерне будут ходить волны туда-сюда, то точно будет колебатся.

Чтобы не заморачиваться с волнами, можно представлять себе цистерну в виде вертикального шприца: опускающийся поршень выгоняет из него воду через асимметричное отверстие.

Хотя вопрос о том, можно ли при малом отверстии пренебречь волнами и вообще негоризонтальностью уровня воды (то есть не будут ли они давать вклад того же порядка, что и вытекание воды через отверстие), "конечно, интересный"

ALEX165 писал(а):Source of the post Интересно, чем дело закончится - когда вся вода вытечет, цистерна будет двигаться, или остановится?

И этот вопрос в весьма широких предположениях имеет определенный ответ

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 24 мар 2012, 11:15

Пусть:

- координата вдоль ЖД трубочки, из которой течёт,
$$z(t)$$

- координата ЦМ воды в цистерне,
$$v(t)$$

- скоростьцистерны,
$$q(t)$$

- расход вытеекающей воды,
всё это в момент времени t, отсчитываемый от начала вытекания,
$$M_0$$

- исходная масса воды в цистерне.
Пусть масса самой цистерны равна 0.
Тогда:
$\int\limits_0^{\theta} q(t)(y(t)+v(t)(\theta-t))dt$ - момент воды в луже (всё по горизонтали естественно) в момент времени $\theta$ от начала вытекания и:
$\int\limits_0^{\theta}q(t)(y(t)+v(t)(\theta-t))dt+(M_0-\int\limits_0^{\theta} q(t)dt)z(\theta)=0$ , поскольку ЦМ остаётся на месте.
Дифференцируем это по $\theta$ :
$q(\theta)y(\theta)+\int\limits_0^{\theta} q(t)v(t)dt-z'(\theta)\int\limits_0^{\theta}q(t)dt-z(\theta)q(\theta)=0$
Для $\theta=T$ - времени окончания вытекания (считаем его конечным) имеем:
$$q(T)=0$$

,

$\int\limits_0^T q(t)dt=M_0$ и:
$z'(T)=\frac{1}{M_0}\int\limits_0^T q(t)v(t)dt$ .
Интеграл здесь, очевидно, импульс вытекшей воды, который равен 0, следовательно и $$z'(T)=0$$

lapay · Сообщение **lapay** » 24 мар 2012, 11:33

ALEX165 писал(а):Source of the post
Тогда:
$\int\limits_0^{\theta} q(t)(y(t)+v(t)(\theta-t))dt$ - момент воды в луже (всё по горизонтали естественно) в момент времени $\theta$ от начала вытекания

Откуда Вы взяли второй член в скобке? Разве скорость $$v(t)$$

постоянна?

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 24 мар 2012, 11:40

lapay писал(а):Source of the post
ALEX165 писал(а):Source of the post
Тогда:
$\int\limits_0^{\theta} q(t)(y(t)+v(t)(\theta-t))dt$ - момент воды в луже (всё по горизонтали естественно) в момент времени $\theta$ от начала вытекания

Откуда Вы взяли второй член в скобке? Разве скорость постоянна?

Это у вытекшей порции (дифф) в момент времени $$t$$

, скорость её ЦМ - ясно постоянна. Можно конечно говорить, что эта порция передаст часть своего импульса соседям в луже, но это ни к чему, поскольку вытекшую воду мжно представить свободно падающей струйкой, тогда всё чисто - она с какой скоростью вытекла, такую и сохранит (всё по горизонтали разумеется).

lapay · Сообщение **lapay** » 24 мар 2012, 12:21

ALEX165 писал(а):Source of the post
Это у вытекшей порции (дифф) в момент времени , скорость её ЦМ - ясно постоянна.

У Вас скорость $$v(t)$$

это скорость цистерны, а не скорость центра масс, и она не есть константа.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 24 мар 2012, 12:26

lapay писал(а):Source of the post
ALEX165 писал(а):Source of the post
Это у вытекшей порции (дифф) в момент времени , скорость её ЦМ - ясно постоянна.

У Вас скорость это скорость цистерны, а не скорость центра масс, и она не есть константа.

Вы не поняли. Она и не константа но это - скорость порции воды, вытекшей в момент t.

lapay · Сообщение **lapay** » 24 мар 2012, 13:02

ALEX165 писал(а):Source of the post
Вы не поняли. Она и не константа но это - скорость порции воды, вытекшей в момент t.

А зачем Вы засунули её в интеграл так, как это константа? У Вас уже первый интеграл неправильно записан.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 24 мар 2012, 14:18

lapay писал(а):Source of the post

А зачем Вы засунули её в интеграл так, как это константа? У Вас уже первый интеграл неправильно записан.

Разбирайтесь самостоятельно.

yourdomain.com