Представление единицы (несложная задача с красивым решением)

vivaldi · Сообщение **vivaldi** » 17 ноя 2011, 17:34

Если такое на форуме уже было, заранее прошу прощения.

Представьте единицу в виде суммы квадратов пяти попарно различных положительных рациональных чисел.
(50 Всеукраинская ученическая олимпиада по математике)

VAL · Сообщение **VAL** » 17 ноя 2011, 22:13

vivaldi писал(а):Source of the post
Если такое на форуме уже было, заранее прошу прощения.

Представьте единицу в виде суммы квадратов пяти попарно различных положительных рациональных чисел.
(50 Всеукраинская ученическая олимпиада по математике)

Элементарно. Например,
$$100+64+36+16+9=225$$

, т.е $\frac{100}{225}+\frac{64}{225}+\frac{36}{225}+\frac{100}{225}+\frac{16}{225}+\frac{9}{225}=1$

BSK · Сообщение **BSK** » 18 ноя 2011, 05:32

vivaldi писал(а):Source of the post Представьте единицу в виде суммы квадратов пяти

Достаточно представить в виде суммы двух $$1=p^2+q^2,$$

затем
$1=p^2(1+q^2+q^4+ \cdots +q^{2n})+q^{2n+2}$

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 18 ноя 2011, 10:41

BSK писал(а):Source of the post
$1=p^2(1+q^2+q^4+ \cdots +q^{2n})+q^{2n+2}$

Поясните, пожалуйста.

VAL · Сообщение **VAL** » 18 ноя 2011, 11:42

vicvolf писал(а):Source of the post
BSK писал(а):Source of the post
$1=p^2(1+q^2+q^4+ \cdots +q^{2n})+q^{2n+2}$

Поясните, пожалуйста.

Примените формулу суммы геометрической прогрессии, к общему знаменателю приведите и т.д.

BSK · Сообщение **BSK** » 18 ноя 2011, 13:26

vicvolf писал(а):Source of the post
BSK писал(а):Source of the post
$1=p^2(1+q^2+q^4+ \cdots +q^{2n})+q^{2n+2}$
Поясните, пожалуйста.

Замените

на

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 18 ноя 2011, 14:57

BSK писал(а):Source of the post
Замените на

Вот теперь понятно!

yourdomain.com