Известно, что если ряд является условно сходящимся, то при изменении порядка суммирования он может сходиться к любому другому числу.
Все перестановки абсолютно сходящегося ряда сходятся к одной и той же сумме.
Доказательство:
Для любого положительного существует такое N, что для всех выполняется
Пусть ряд
получен из ряда
путем перестановки слагаемых
Возьмем число M таким, чтобы в сумму
Входили все члены, входящие в сумму
Запишем
Отсюда получим
С учетом того, что модуль суммы меньше или равен сумме модулей
или
Выбрав N достаточно большим, можно добиться того, что
То есть
У меня такой вопрос: что в данном доказательсте делает его непригодным для случая, когда ряд не является абсолютно сходящимся
Про сходимость рядов
Про сходимость рядов
Последний раз редактировалось Mitry 28 ноя 2019, 19:49, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Про сходимость рядов
Вот это:Mitry писал(а):Source of the post
У меня такой вопрос: что в данном доказательсте делает его непригодным для случая, когда ряд не является абсолютно сходящимся
Тут в любом случае надо еще долго доказывать, а для условно сходящегося так и неверноВыбрав N достаточно большим, можно добиться того, что
Последний раз редактировалось Ian 28 ноя 2019, 19:49, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Про сходимость рядов
Ian писал(а):Source of the post
Вот это:Тут в любом случае надо еще долго доказыватьВыбрав N достаточно большим, можно добиться того, что
В это выражение дают вклад члены ряда u, номера которых больше, чем N. Если ряд сходится, то, выбрав N достаточно большим, можно добиться того, что
Вот я и хочу понять, почему.
Последний раз редактировалось Mitry 28 ноя 2019, 19:49, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Про сходимость рядов
Этого-то можно добиться. А вот чтобы M-N из этих слагаемых, взятых не по порядку, в суиие были малы - не обязательноMitry писал(а):Source of the post В это выражение дают вклад члены ряда u, номера которых больше, чем N. Если ряд сходится, то, выбрав N достаточно большим, можно добиться того, что
Последний раз редактировалось Ian 28 ноя 2019, 19:49, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Про сходимость рядов
Ian писал(а):Source of the postЭтого-то можно добиться. А вот чтобы M-N из этих слагаемых, взятых не по порядку, в суиие были малы - не обязательноMitry писал(а):Source of the post В это выражение дают вклад члены ряда u, номера которых больше, чем N. Если ряд сходится, то, выбрав N достаточно большим, можно добиться того, что
Тогда получается, что требование абсолютной сходимости ряда необходимо для того, чтобы из соотношения
следовала малость суммы любых любого количества этих слагаемых?
Последний раз редактировалось Mitry 28 ноя 2019, 19:49, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Про сходимость рядов
Из соотношения, как у Вас сейчас, с модулями -следует. А то которое было в предыдущем посте- ничего не даетMitry писал(а):Source of the postIan писал(а):Source of the postЭтого-то можно добиться. А вот чтобы M-N из этих слагаемых, взятых не по порядку, в суиие были малы - не обязательноMitry писал(а):Source of the post В это выражение дают вклад члены ряда u, номера которых больше, чем N. Если ряд сходится, то, выбрав N достаточно большим, можно добиться того, что
Тогда получается, что требование абсолютной сходимости ряда необходимо для того, чтобы из соотношения
следовала малость суммы любых любого количества этих слагаемых?
Условная сходимость равносильна сходимости + любой из трех вещей:
1) изменением нумерации членов можно заставить ряд сойтись к любой сумме, включая +- бесконечность, или чтобы предел частичных сумм не существовал ни в каком смысле.
2)не изменяя нумерацию , можно поменять знаки перед некоторыми членами ряда и добиться всего этого
3)можно вычеркнуть некоторые члены ряда и добиться этого же
Последний раз редактировалось Ian 28 ноя 2019, 19:49, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Вернуться в «Математический анализ»
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 15 гостей