произведение корней уравнения

Brest-rap2011

Найти проузведения корней уравнения
$\ 4{x^4} - 8{x^3} + 3{x^2} - 8x + 4 = 0$
поделил на $\ {x^2}$
получилось:
$\ 4{x^2} - 8x + 3 - \frac{8}{x} + \frac{4}{{{x^2}}} = 0$
$\ 4\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) - 8\left( {x + \frac{1}{x}} \right) + 3 = 0$
Дальше делаю замену:
$\ x + \frac{1}{x} = t$
$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2.$ Или $$t^2-2.$$

$\ 4\left( {{t^2} - 2} \right) - 8t + 3 = 0$
$\ 4{t^2} - 8 - 8t - 5 = 0$
$\ D = 144$
$\ \sqrt D = 12$
$\ {t_1} = 2.5$
$\ {t_2} = 0.5$
помогите дорешать!

MrDindows · Сообщение **MrDindows** » 14 авг 2011, 15:15

А что помогать? Продолжайте.
$x+\frac{1}{x}=2.5$ ,
$x+\frac{1}{x}=0.5$
Решите эти два уравнения и найдите корни.

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 14 авг 2011, 15:49

Не надо находить корни уравнения. Надо разделить коэффициенты уравнения на первый коэффициент (в данном случае 4) и использовать теорему Виета. [url=http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%...%B5%D1%82%D0%B0]http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%...%B5%D1%82%D0%B0[/url]
В данном случае произведение корней будет равно свободному члену приведенного многочлена слева, т.е 1.

MrDindows · Сообщение **MrDindows** » 14 авг 2011, 16:25

vicvolf писал(а):Source of the post
Не надо находить корни уравнения. Надо разделить коэффициенты уравнения на первый коэффициент (в данном случае 4) и использовать теорему Виета. [url=http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%...%B5%D1%82%D0%B0]http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%...%B5%D1%82%D0%B0[/url]
В данном случае произведение корней будет равно свободному члену приведенного многочлена слева, т.е 1.

Но произведение ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ корней не всегда равно свободному члену многочлена, как в этот раз. Поэтому, ТС, если вам нужно произведение именно действительных корней ( в условии вы не указали), то их лучше искать.

Ian · Сообщение **Ian** » 14 авг 2011, 16:48

MrDindows писал(а):Source of the post
vicvolf писал(а):Source of the post
Не надо находить корни уравнения. Надо разделить коэффициенты уравнения на первый коэффициент (в данном случае 4) и использовать теорему Виета. [url=http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%...%B5%D1%82%D0%B0]http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%...%B5%D1%82%D0%B0[/url]
В данном случае произведение корней будет равно свободному члену приведенного многочлена слева, т.е 1.

Но произведение ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ корней не всегда равно свободному члену многочлена, как в этот раз. Поэтому, ТС, если вам нужно произведение именно действительных корней ( в условии вы не указали), то их лучше искать.

Согласен, например многочлен $$(x^2+4)(x^2-3x+1)$$

.
Но здесь можно не искать: если х корень уравнения, то $\frac 1x$ тоже корень уравнения, такой же кратности. Если уравнение делить на $x^4\ne 0$ , получается такое же уравнение относительно $\frac 1x$ . Не мешало бы проверить, что хоть один действительный корень существует, но это легко: при х=1 левая часть уравнения <0,а при больших х положительна.Та же идея работала и позже, когда уравнение выразилось через $t=x+\frac 1x$ . Какое бы t не вышло, произведение двух соответствующих х равно 1: свободному члену $$x^2-tx+1$$

.
Непонятно, работает ли в школе конвенция " произведение пустого множества сомножителей равна 1",а то и проверка не нужна.

Brest-rap2011

я незнаю произведение каких именно корней нужно найти! в книжке в условии написано так:
Найти произведения корней уравнения

Я нашёл корни, теперь надо их перемножить или как?? если умножить 2,5 на 0,5 то получится 1,25! а в книге по ответам должно получится 1!

MrDindows · Сообщение **MrDindows** » 14 авг 2011, 18:01

Brest-rap2011 писал(а):Source of the post
я незнаю произведение каких именно корней нужно найти! в книжке в условии написано так:
Найти произведения корней уравнения

Я нашёл корни, теперь надо их перемножить или как?? если умножить 2,5 на 0,5 то получится 1,25! а в книге по ответам должно получится 1!

Вы перемножили:
$t_1\cdot t_2$
А вам надо перемножить:
$x_1\cdot x_2$

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 14 авг 2011, 18:38

Brest-rap2011 писал(а):Source of the post
я незнаю произведение каких именно корней нужно найти! в книжке в условии написано так:
Найти произведения корней уравнения

Я нашёл корни, теперь надо их перемножить или как?? если умножить 2,5 на 0,5 то получится 1,25! а в книге по ответам должно получится 1!

Все правильно требуется найти произведение всех, а не только действительных корней. Решение дано в посте 3. Там уже был дан правильный ответ-1. Наконец посмотрите формулы Виета в учебнике или ссылке в посте 3. Тогдв Вы узнаете, что для того, чтобы находить суммы и произведения корней не обязательно их находить!

MrDindows писал(а):Source of the post
Но произведение ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ корней не всегда равно свободному члену многочлена, как в этот раз. Поэтому, ТС, если вам нужно произведение именно действительных корней ( в условии вы не указали), то их лучше искать.

Не надо вводить в заблуждение ТС -он и так путается! Никого разговора о действительных корнях в задаче не было. Надо использовать формулы Виета.

MrDindows · Сообщение **MrDindows** » 14 авг 2011, 19:23

vicvolf писал(а):Source of the post
Не надо вводить в заблуждение ТС -он и так путается! Никого разговора о действительных корнях в задаче не было. Надо использовать формулы Виета.

Тогда как вы объясните то, что:
1) Если задание их школьной программы, то там нету такого понятия как "комплексные корни", а есть только действительные, и если в условии написано, что надо произведение корней, то это однозначно трактуется как о действительных корнях.
2) В этом уравнении коэффициенты специально подобраны для замены (х+1/х). Зачем в задании на формулы Виета такие коэфициенты?
3) ТС берёт задания из книжки. Значит это задание из какой-то темы. Если бы в этой теме говорилось про формулы Виета, то ТС не стал бы решать уравнение, а сразу бы применил формулы Виета.

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 14 авг 2011, 20:10

Абстрагируйтесь от всего и скажите, как проще решить данное задание? Естественно по формулам Виета! Если Вы хотите усложнить решение, то это Ваша проблема, а не ТС!

yourdomain.com