Притяжение полушарий

Securus · Сообщение **Securus** » 23 май 2011, 20:57

Спасибо большое за разные версии решения. Правда, мне оказалось быстрее сделать самому, чем понять готовые решения. А решение господина Peregoudov я до сих пор не понял.

Меня ещё интересует один вопрос:

Teplorod смог получить правильный ответ очень смелым методом. И я не могу понять, почему он действует. Ведь то, что мы срываем нижний диск у полушария и заливаем снятым материалом оставшуюся поверхность этого полушария разве есть эквивалентно поднятию полушария? (по ответу выходит, что- да, но логично мне не понятно).

student_kiev

da67 писал(а):Source of the post Пример задачи, в которой тензор натяжений даёт одно из самых простых решений, на мой взгляд очень важен. Накидайте ещё, если есть.

1. Проводящую пластину толщины $$t$$

суют в конденсатор с обкладками $l \times l$ и зазором $$d$$

, который питается напряжением $$V$$

. Найти силу, действующую на пластину.

2. Длинный проводящий цилиндр радиуса $$a$$

частично вставили в коаксиальный ему другой длинный цилиндр радиуса $$b$$

. Найти силу, с которой малый цилиндр будет втягиваться в большой, если между ними приложить напряжение $$V$$

.

3. То же самое, но с соленоидами (отличие в том, что здесь известны проходящие через них токи, плотности намотки, радиусы и длины каждого). Вообще можно придумать кучу задач с магнитными системами, аналогичными электрическим.

4. (Вариация на тему текущей задачи) Незаряженная проводящая сфера радиуса $$R$$

, состоящая из двух разделенных половинок, помещается в однородное поле $\mathbf{E}$ , перпендикулярное плоскости, разделяющей две полусферы. Найти силу отталкивания между двумя половинками.

P.S. в формулах могут быть косяки, т.к. решалось (и придумывалось) это уже три года назад и воспроизведено по бумажкам.

UPDATE
Нашел на листочках пару красивых задач на применение тензора напряжений Максвелла в магнитостатике.

5. Катушка с количеством витков $$N$$

, поперечным сечением $$A$$

и длиной

намотана на тонкостенную цилиндрическую основу, состоящую из двух половинок. Найти силу взаимодействия двух половинок, если по катушке пустить ток $$I$$

(краевыми эффектами пренебрегаем).

6. Тороидальная катушка с прямоугольным сечением намотана две одинаковые тонкостенные основы, имеющие форму "полукольца". Внешний и внутренний радиусы катушки $$a$$

и

, ширина

, количество витков $$N$$

. Найти силу взаимодействия между двумя половинками катушки, если по ней пустить ток $$I$$

.

6. Катушка с радиусом обмотки $$a$$

и длиной

состоит из $$n$$

тонких проводов, каждый из которых несет ток $$I$$

. Найти угол обмотки, при котором сила, действующая на каждый элемент поверхности равна нулю. Краевыми эффектами пренебречь. Описать влияние силы, действующей на катушку при углах обмотки больших и меньших найденного значения.

Кстати, здесь нужно иметь ввиду следующую интересную вещь. Уравнения для сил, действующих на распределение зарядов в электростатическом поле и на токи в магнитостатике выведены в предположении, что $\nabla \times E = 0$ и $\nabla \cdot B =0$ . Но если в задаче мы допускаем некоторые упрощения, а именно, пренебрегаем в конденсаторе с параллельным пластинами или в цилиндрической катушке краевыми эффектами, то мы неявно создаем области пространства, где $\nabla \times E \neq 0$ и $\nabla \cdot B \neq 0$ . Так что, в таких случаях нужно вводить поправки.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 24 май 2011, 09:33

peregoudov
Спасибо за пояснения.

Кстати, интересно, интегрировать можно не только по поверности "диск + полусфера", но и по неограниченной полуплоскости.

Таланов

Попытался найти силу в случае стержня с нулевым сечением и с линейной плотностью $\rho$ , длиной $$l$$

, разрезанного посередине.

$\displaystyle F=G\rho^2dl\int_0^{l/2}\frac{dl}{r^2}=2G\rho^2dl(\frac{1}{0^3}-\frac{1}{(l/2)^3})$

Сразу же нарвался на 0 в знаменателе. Что делаю не правильно?

student_kiev

fir-tree писал(а):Source of the post Кстати, интересно, интегрировать можно не только по поверности "диск + полусфера", но и по неограниченной полуплоскости.

Интегрировать можно по любой поверхности, охватывающей рассматриваемые заряды и не охватывающей "чужие" заряды

Таланов писал(а):Source of the post Попытался найти силу в случае стержня с нулевым сечением и с линейной плотностью \rho, длиной l, разрезанного посередине.

а что там резать, если у вас сечение нулевое? Кстати, зачем вы его нулевым сделали?

Таланов писал(а):Source of the post Что делаю не правильно?

А какая у вас максвелловская поверхность? Из вашего интеграла этого не видно.

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 25 май 2011, 12:13

Идейно самый простой, не использующий никаких трюков способ, наверное, такой. Пусть ${\bf E}_1$ --- поле, создаваемое верхним полушарием, ${\bf E}_2$ --- нижним. Тогда сила, действующая на верхнее полушарие
$\displaystyle {\bf F}=\int_{V_1}{\bf E}_2\rho\,d^3r,$
а условие отсутствия самодействия имеет вид
$\displaystyle 0=\int_{V_1}{\bf E}_1\rho\,d^3r.$
Поэтому
$\displaystyle {\bf F}=\int_{V_1}({\bf E}_1+{\bf E}_2)\rho\,d^3r,$
этот интеграл элементарно вычисляется. Ответ, разумеется, тот же

student_kiev

peregoudov +, но фишка Maxwell's stress equation в том, что для нахождения силы, действующей на объемный заряд, интегрируют по поверхности, а не по объему, не разбираясь, что там происходит внутри, что иногда более удобно

yourdomain.com