Тройной интеграл

СергейП

Homka писал(а):Source of the post Я, честно говоря, в ЦСК вообще ничего не понимаю. Был уверен, что решал верно.

По сути, ЦСК и полярная СК - одно и тоже.
$\displaystyle x= \rho \cos \phi$ , $\displaystyle y= \rho \sin \phi$ , $\displaystyle z=z$ , якобиан $\displaystyle J= \rho$
Таперь область интегрирования, какова проекция на ХОУ? (Это та самая D)

Homka · Сообщение **Homka** » 22 май 2011, 18:35

СергейП писал(а):Source of the post
Таперь область интегрирования, какова проекция на ХОУ? (Это та самая D)

Это будет окружность.
$x^2+y^2=1,\\\rho=1.\\\rho\in[0;1]\\\varphi\in[\frac {\pi} {4};\frac {3\pi} {4}]$

СергейП

1/4 окружности - $0 \le \rho \le 1$ , $\frac {\pi} {4} \le \varphi \le \frac {3\pi} {4}$
Теперь, как изменяется z?
Интересуют поверхности "входа" и "выхода" тела

Homka · Сообщение **Homka** » 22 май 2011, 18:49

СергейП писал(а):Source of the post
1/4 окружности - $0 \le \rho \le 1$ , $\frac {\pi} {4} \le \varphi \le \frac {3\pi} {4}$
Теперь, как изменяется z?
Интересуют поверхности "входа" и "выхода" тела

z будет изменяться от $\rho$ до $$2$$

.

jarik · Сообщение **jarik** » 22 май 2011, 18:53

А может от двойного ро до двух?!

Homka · Сообщение **Homka** » 22 май 2011, 18:58

jarik писал(а):Source of the post
А может от двойного ро до двух?!

Конечно же! Ведь если в уравнение конуса подставить, то там эта самая четвёрка даст двойку перед ро. Но вот только как это всё преобразовать к интегралу в цилиндрических координатах? Понятно, что dxdydx другое уже будет, да ещё с Якобианом преобразования. А что с подынтегральной функцией делать?

СергейП

Homka писал(а):Source of the post
СергейП писал(а):Source of the post 1/4 окружности - $0 \le \rho \le 1$ , $\frac {\pi} {4} \le \varphi \le \frac {3\pi} {4}$ Теперь, как изменяется z?
Интересуют поверхности "входа" и "выхода" тела
z будет изменяться от $\rho$ до .

Проще всего посмотреть на уравнение поверхности - $$z^2=4(x^2+y^2)$$

, тогда $z=2 \sqrt {x^2+y^2} =2 \rho$ как и сказал уже jarik

Homka писал(а):Source of the post А что с подынтегральной функцией делать?

см. пост 11

Homka · Сообщение **Homka** » 22 май 2011, 19:11

СергейП писал(а):Source of the post
Проще всего посмотреть на уравнение поверхности - , тогда $z=2 \sqrt {x^2+y^2} =2 \varphi$ как и сказал уже jarik

$z=2 \sqrt {x^2+y^2} =2 \rho$ только.

$\iiint_{V}y\sqrt{x^2+y^2}dxdydz=\iiint_{V}\rho\sin\varphi*\rho*\rho* d\varphi dz=\\=\int_{\frac {\pi} {4}}^{\frac {3\pi} {4}}d\varphi\int_{0}^{1}\rho^3\sin\varphi\int_{2\rho}^{2}dz$

СергейП

Да, а можно вот так

$\displaystyle \int_{\frac {\pi} {4}}^{\frac {3\pi} {4}} \sin\varphi d\varphi\int_{0}^{1}\rho^3 d \rho \int_{2\rho}^{2}dz=...$

и тройной интеграл распадется на произведение двойного и определенного

mihailm · Сообщение **mihailm** » 22 май 2011, 19:18

нормально, только дэро куда-то пропало и букву V заменить на какую другую

yourdomain.com