Пожалуйста, найдите ошибку

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 21 мар 2011, 09:48

Построить функцию из множества всех положительных рациональных чисел в него же, удовлетворяющую
$f(f(x))=\frac{1}{x}$ для всех положительных рациональных x.

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 21 мар 2011, 10:13

Уже нашла ошибку :oops:

Если икс больше 1, но меньше 2, это не работает.

A если вместо x взять $$|x-1|$$

?

Ian · Сообщение **Ian** » 21 мар 2011, 10:32

Xenia1996 писал(а):Source of the post
, если ,
$f(x)=\frac{1}{0.5x}$ , если и розовое,
, если и фиолетовое,
$f(x)=\frac{1}{2x}$ , если и розовое,
, если и фиолетовое,

$f(\frac 34)=\frac 23,f(\frac 23)=\frac 13$ Однако почему бы не поискать еще на этом пути. Например, на $\mathbb Q-(0)$ , a не на $\mathbb Q_+$ подобное вроде проходит

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 21 мар 2011, 10:34

Пишу исправленное решение:

Ian · Сообщение **Ian** » 21 мар 2011, 10:39

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 21 мар 2011, 10:43

Ian писал(а):Source of the post

Дык увидела уже...так вообще не работает...
И даже, если вместо $$2|x-1|$$

написать

, всё равно не работает.

typhoon · Сообщение **typhoon** » 21 мар 2011, 11:57

Нашел похожую задачу, более сильную, ee решение подходит и для этой.

[url=http://www.imo-official.org/problems.aspx]http://www.imo-official.org/problems.aspx[/url]

1990 год задача 4

Equinoxe · Сообщение **Equinoxe** » 21 мар 2011, 14:02

Я придумала такое решение, ошибки пока не вижу:
Ясно, что ряд чисел $$x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), ...$$

будет таким:
$\frac n m, \frac a b, \frac m n, \frac b a, \frac n m, ...$
Значит, нам нужно просто уметь делить весь ряд по какому-то признаку на непересекающиеся 4-ки.
Ясно, что можно сделать $$n<m$$

,

, но надо ещё как-то уметь однозначно переводить $\frac n m$ в $\frac a b$ и наоборот

Сделаем так:
Нам дали $x = \frac n m$ (как уже договорились, $$n < m$$

), чтобы перевести его в $\frac a b$ ( $$a < b$$

)
Рассмотрим дерево Калкина-Уилфа, ясно, что если задавать число путём в этом дереве (0 — налево, 1 — направо), то всякое число <1 будет каким-то «…101001111001…0», тогда распределим пути по кол-ву 1ц перед последним нулём:0 — вставляем 1 (перед последним нулём)1 — убираем2 — вставляем3 — убираем …и т. д.Тогда путь 0 станет 10, 00 — 010, 000 — 0010, …0110 — …01110, …01110 — …0110Вроде всё на месте Обратимость обеспечили, скажем, что $$k(x) = 1$$

, когда мы дадим $$x$$

-у единичку и $$k(x) = 0$$

, если наоборот, a $$p(x)$$

= число (не путь!), которое получится при помощи этих преобразований (ясно, что если до этого момента всё верно, то решение существует. Если я даже и ошиблась где-то, a решения не существует, то док-во его несуществования скорее всего будет как-то связано co счетностью и рациональностью, такая вот догадка наперёд)

Теперь рассмотрим тактику $$f(x)$$

:
1. Если

, то

2. Если

:
если

, то

если

, то $f(x)=\frac 1 {p(x)}$
3. Если $$x > 1$$

:
если $k(\frac 1 x)=1$ , то $f(x)=\frac 1 {p(\frac 1 x)}$
если $k(\frac 1 x)=0$ , то $f(x)=p(\frac 1 x)$

Вот пример:
$x=\frac 3 5$
1. найдём $f(\frac 3 5)$ , путь по дереву будет 010, т.e. $k(\frac 3 5)=0, p(\frac 3 5)=\frac 1 3$ , получили 3
2. найдём $$f(3)$$

, путь по дереву у $\frac 1 3$ будет 00, т.e. $k(\frac 1 3)=1, p(\frac 1 3)=\frac 3 5$ , получили $\frac 5 3$
3. найдём $f(\frac 5 3)$ , путь по дереву у $\frac 3 5$ будет 010, т.e. $k(\frac 3 5)=0, p(\frac 3 5)=\frac 1 3$ , получили $\frac 1 3$
4. найдём $f(\frac 1 3)$ , путь по дереву будет 00, т.e. $k(\frac 1 3)=1, p(\frac 1 3)=\frac 3 5$ , получили $\frac 3 5$
Сработало

Ludina · Сообщение **Ludina** » 21 мар 2011, 21:28

Equinoxe, прошу прощения за непонимание, но как в указанном примере вышло р(3/5)=1/3? Почему именно 1/3? Я не понимаю из чего видно что должно выйти именно так.

все! уже все понял

Ian · Сообщение **Ian** » 21 мар 2011, 22:04

Ian писал(а):Source of the post поискать еще на этом пути. Например, на $\mathbb Q-(0)$ , a не на $\mathbb Q_+$ подобное вроде проходит

я имел в виду простую f
-меняющую знак для отрицательных
-меняющую знак и берущую обратную величину у положительных
B чем тут повезло: смена знака - отображение, коммутирующее c $\frac 1x$ и инволютивное (два раза сменить знак все равно что ни разу)
A в док-ве Equinoxe р коммутирует c $\frac 1x$ , оно так продолжено может быть: $p(x)=\frac 1{p(1/x)},x>1$ , инволютивно (график симметричен относительно прямой у=х,лежит кусками на прямых $$y=0,5(x+1)$$

и

), биективно (рациональные в рациональные).
Этого и достаточно:
f(x)= $\displaystyle \\p(x),p(x)<x\\p(1/x),p(x)>x\\1,x=1$
та, что надо

yourdomain.com