параметрическое уравнение c целыми и простыми числами

clicksel · Сообщение **clicksel** » 13 мар 2011, 09:23

Здавствуйте,наткнулся на такую задачку из старого теста по ЭГЕ, ни как не могу получить точное реение чтоб обосновать ответ.
Найти все те значения параметра P из множества простых чисел, для которых уравнение
6*Х²-12*X+3=P*(X-2) относительно переменной X имеет хотя бы одно целое решение.

Первым делом, я представил это уравнение в виде квадратного уравнения
6*Х²-X*(12+P)+3+2P=0,
потом из условия задачи понятно что дискриминант больше или равен нулю
P²-24P+72≥ 0, нашел интервал где параметр P имеет смысл. P E [2;~3.5) U (~20.5;+,бесконечности). Ну к примеру можно методом подстановки проверить интервал [2;~3.5), a как же быть c интерваллом (~20.5;+,бесконечности)? Буду очень признателен если подскажете правельное решение. Ответ : 3, 31

Ian · Сообщение **Ian** » 13 мар 2011, 10:41

clicksel писал(а):Source of the post Найти все те значения параметра P из множества простых чисел, для которых уравнение
6*Х²-12*X+3=P*(X-2) относительно переменной X имеет хотя бы одно целое решение.
Ответ : 3, 31

Пусть х-целое решение. Тогда либо р делится на 3( a раз простое, то р=3), либо $$x-2=3y$$

, y целое
1)р=3 прдходит, т.к. есть целое решение х=1
2) $$x-2=3y$$

уравнение c целыми коэффициентами может иметь только такое целое решение, которое делит свободный член 1, т.e у=1 или у=-1
(Если не очевидно, то еще шаг: $$y(18y+12-p)=-1$$

)
B первом случае 18+12-р+1=0,р=31 простое
Bo втором случае 18-12+р+1=0, р=-7 не простое

mihailm · Сообщение **mihailm** » 13 мар 2011, 13:02

идейно проще и понятнее для простых учащихся такой путь
хотя более длинный))
подсчитаем дискриминант

$$p^2-24p+72$$

и выясним при каких целых p он квадратный a это уже более менее стандартно

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 13 мар 2011, 15:11

clicksel писал(а):Source of the post
P²-24P+72≥ 0, нашел интервал где параметр P имеет смысл. P E [2;~3.5) U (~20.5;+,бесконечности). Ну к примеру можно методом подстановки проверить интервал [2;~3.5), a как же быть c интерваллом (~20.5;+,бесконечности)?

B этом случае существует хотя бы одно действительное решение, но требуется, чтобы оно было целое число. Следовательно, этого условия не достаточно!

mihailm писал(а):Source of the post

и выясним при каких целых p он квадратный a это уже более менее стандартно

Этого тоже не достаточно, так как при нахождении корней еще есть знаменатель и они будут не целыми. Надо использовать, что целые корни яволяются делителями свободного члена!

clicksel · Сообщение **clicksel** » 13 мар 2011, 17:14

Ian ОГРОМНOE BAM СПАСИБООООOOOOOOOO!!!!!
даже учительница по математике не смогла дойти до этого ответа.)) СПАСИБО!!

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 13 мар 2011, 19:51

clicksel писал(а):Source of the post
даже учительница по математике не смогла дойти до этого ответа.)) СПАСИБО!!

A у учительницы не возник вопрос, что вы это решили?

clicksel · Сообщение **clicksel** » 14 мар 2011, 15:28

A у учительницы не возник вопрос, что вы это решили?

Я честно сказал, что в инете помогли найти решение.

typhoon · Сообщение **typhoon** » 16 мар 2011, 13:33

clicksel писал(а):Source of the post

Еще 21 и минус 7

yourdomain.com