Найти grad z в точке A

Alexander4321
Сообщений: 201
Зарегистрирован: 07 дек 2010, 21:00

Найти grad z в точке A

Сообщение Alexander4321 » 31 янв 2011, 18:47

Добрый день! 1)Необходимо найти grad z в точке A
2) Производную в точке A по направлению вектора a.
$$z=2x^2+3xy+y^2$$; A(2;1), a(3;-4)

1) Нашел grad
$$\frac{dz}{dx}=\frac{4x+3y}{2x^2+3xy+y^2}=\frac{24}{15}$$

$$\frac{dz}{dy}=\frac{2y+3x}{2x^2+3xy+y^2}=\frac{8}{15}$$

2) He пойму, как найти производную в точке A по направлению вектора a

He подскажите нужную формулу? Спасибо!
Последний раз редактировалось Alexander4321 29 ноя 2019, 10:04, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
Александр Малошенко
Сообщений: 875
Зарегистрирован: 16 апр 2010, 21:00

Найти grad z в точке A

Сообщение Александр Малошенко » 31 янв 2011, 18:52

1)ну я думаю надо подставить в обе производные значения A(2;1)... хотя не очень уверен
A как так вы производные посчитали?? не оч верно вроде бы
Вам надо найти будет

$$cos \alpha\\ sin \alpha$$
Последний раз редактировалось Александр Малошенко 29 ноя 2019, 10:04, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Troll1984
Сообщений: 139
Зарегистрирован: 07 янв 2011, 21:00

Найти grad z в точке A

Сообщение Troll1984 » 31 янв 2011, 18:59

Частные производные неправильно вычислили.
Последний раз редактировалось Troll1984 29 ноя 2019, 10:04, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Alexander4321
Сообщений: 201
Зарегистрирован: 07 дек 2010, 21:00

Найти grad z в точке A

Сообщение Alexander4321 » 31 янв 2011, 18:59

Александр Малошенко писал(а):Source of the post
1)ну я думаю надо подставить в обе производные значения A(2;1)... хотя не очень уверен

Я сразу так и сделал, просто забыл записать
C первой частью задания я, вроде бы, справился. Проблемы co второй часть - не знаю, как найти производную в точке A...... (т.e. 2-e задание). B учебнике нашел пример решения, но там вектор записан по другому $$a=3i+j$$. B примере из учебника находили направляющие косинусы вектора $$a$$.
Последний раз редактировалось Alexander4321 29 ноя 2019, 10:04, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Troll1984
Сообщений: 139
Зарегистрирован: 07 янв 2011, 21:00

Найти grad z в точке A

Сообщение Troll1984 » 31 янв 2011, 18:59

Здесь тоже надо найти направляющие векторы.
Последний раз редактировалось Troll1984 29 ноя 2019, 10:04, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
Александр Малошенко
Сообщений: 875
Зарегистрирован: 16 апр 2010, 21:00

Найти grad z в точке A

Сообщение Александр Малошенко » 31 янв 2011, 19:03

Troll1984 писал(а):Source of the post
Частные производные неправильно вычислили.

да вообще не понятно как Автор их считал... может там есть корень??
Если нет то будет так

$$ \frac {dz}{dx}=4x+3y\\  \frac {dz}{dy}=3x+2y$$
Последний раз редактировалось Александр Малошенко 29 ноя 2019, 10:04, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Alexander4321
Сообщений: 201
Зарегистрирован: 07 дек 2010, 21:00

Найти grad z в точке A

Сообщение Alexander4321 » 31 янв 2011, 19:05

Troll1984 писал(а):Source of the post
Частные производные неправильно вычислили.

B $$\frac{dz}{dy}$$ $$y$$ является постоянной. Производная от $$3y\cdot{x}$$ равна $$3y$$ - разве не так?
Последний раз редактировалось Alexander4321 29 ноя 2019, 10:04, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Troll1984
Сообщений: 139
Зарегистрирован: 07 янв 2011, 21:00

Найти grad z в точке A

Сообщение Troll1984 » 31 янв 2011, 19:06

Правильно, только откуда знаменатель возник?
Последний раз редактировалось Troll1984 29 ноя 2019, 10:04, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
Александр Малошенко
Сообщений: 875
Зарегистрирован: 16 апр 2010, 21:00

Найти grad z в точке A

Сообщение Александр Малошенко » 31 янв 2011, 19:10

Ну как то так...
$$ \frac {dz}{da}= z'_x cos \alpha+z'_ysin \alpha\\ cos \alpha= \frac {l_1}{ \sqrt {(l_1)^2+(l_2)^2}}\\ sin \alpha= \frac {l_2}{ \sqrt {(l_1)^2+(l_2)^2}}\\ a(l_1;l_2)\\ a(3;-4)\\  \frac {dz}{da}= \frac {33}{5}- \frac {32}{5}= \frac {1}{5}$$
Последний раз редактировалось Александр Малошенко 29 ноя 2019, 10:04, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Alexander4321
Сообщений: 201
Зарегистрирован: 07 дек 2010, 21:00

Найти grad z в точке A

Сообщение Alexander4321 » 31 янв 2011, 19:11

Александр Малошенко писал(а):Source of the post
Troll1984 писал(а):Source of the post
Частные производные неправильно вычислили.

да вообще не понятно как Автор их считал... может там есть корень??
Если нет то будет так

$$ \frac {dz}{dx}=4x+3y\\  \frac {dz}{dy}=3x+2y$$

$$\frac{dz}{dx}=\frac{(2x^2+3xy+y^2)'}{2x^2+3xy+y^2}=\frac{4x+3y}{2x^2+3xy+y^2}=$$
$$=\frac{4\cdot{2}+3\cdot{1}}{2\cdot{2^2}+3\cdot{2}\cdot{1}+1^2}=\frac{24}{15}$$
Последний раз редактировалось Alexander4321 29 ноя 2019, 10:04, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test


Вернуться в «Математический анализ»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 9 гостей