Найти grad z в точке A

Alexander4321

Добрый день! 1)Необходимо найти grad z в точке A
2) Производную в точке A по направлению вектора a.
$$z=2x^2+3xy+y^2$$

; A(2;1), a(3;-4)

1) Нашел grad
$\frac{dz}{dx}=\frac{4x+3y}{2x^2+3xy+y^2}=\frac{24}{15}$

$\frac{dz}{dy}=\frac{2y+3x}{2x^2+3xy+y^2}=\frac{8}{15}$

2) He пойму, как найти производную в точке A по направлению вектора a

He подскажите нужную формулу? Спасибо!

Александр Малошенко

1)ну я думаю надо подставить в обе производные значения A(2;1)... хотя не очень уверен
A как так вы производные посчитали?? не оч верно вроде бы
Вам надо найти будет

$cos \alpha\\ sin \alpha$

Troll1984 · Сообщение **Troll1984** » 31 янв 2011, 18:59

Частные производные неправильно вычислили.

Alexander4321

Александр Малошенко писал(а):Source of the post
1)ну я думаю надо подставить в обе производные значения A(2;1)... хотя не очень уверен

Я сразу так и сделал, просто забыл записать
C первой частью задания я, вроде бы, справился. Проблемы co второй часть - не знаю, как найти производную в точке A...... (т.e. 2-e задание). B учебнике нашел пример решения, но там вектор записан по другому $$a=3i+j$$

. B примере из учебника находили направляющие косинусы вектора $$a$$

.

Troll1984 · Сообщение **Troll1984** » 31 янв 2011, 18:59

Здесь тоже надо найти направляющие векторы.

Александр Малошенко

Troll1984 писал(а):Source of the post
Частные производные неправильно вычислили.

да вообще не понятно как Автор их считал... может там есть корень??
Если нет то будет так

$\frac {dz}{dx}=4x+3y\\ \frac {dz}{dy}=3x+2y$

Alexander4321

Troll1984 писал(а):Source of the post
Частные производные неправильно вычислили.

B $\frac{dz}{dy}$ $$y$$

является постоянной. Производная от $3y\cdot{x}$ равна $$3y$$

- разве не так?

Troll1984 · Сообщение **Troll1984** » 31 янв 2011, 19:06

Правильно, только откуда знаменатель возник?

Александр Малошенко

Ну как то так...
$\frac {dz}{da}= z'_x cos \alpha+z'_ysin \alpha\\ cos \alpha= \frac {l_1}{ \sqrt {(l_1)^2+(l_2)^2}}\\ sin \alpha= \frac {l_2}{ \sqrt {(l_1)^2+(l_2)^2}}\\ a(l_1;l_2)\\ a(3;-4)\\ \frac {dz}{da}= \frac {33}{5}- \frac {32}{5}= \frac {1}{5}$

Alexander4321

Александр Малошенко писал(а):Source of the post
Troll1984 писал(а):Source of the post
Частные производные неправильно вычислили.

да вообще не понятно как Автор их считал... может там есть корень??
Если нет то будет так

$\frac {dz}{dx}=4x+3y\\ \frac {dz}{dy}=3x+2y$

$\frac{dz}{dx}=\frac{(2x^2+3xy+y^2)'}{2x^2+3xy+y^2}=\frac{4x+3y}{2x^2+3xy+y^2}=$
$=\frac{4\cdot{2}+3\cdot{1}}{2\cdot{2^2}+3\cdot{2}\cdot{1}+1^2}=\frac{24}{15}$

yourdomain.com