Ряд Тейлора, ряд Фурье

Homka · Сообщение **Homka** » 23 дек 2010, 19:48

To есть не расписывать тогда?
Ошибку вы так и переписали мою в разложение или всё-таки верно?

СергейП

Homka писал(а):Source of the post Ошибку вы так и переписали мою в разложение или всё-таки верно?

Если там такое же bn, то было верно.
Ho такие ужасные снимки не надо предлагать.

Homka писал(а):Source of the post To есть не расписывать тогда?

Можно попробовать, как то так будет

$\displaystyle f(x)=\frac {1}{2\pi} (3\pi-5) \sum_{n=1}^{\infty} \left [ \frac {6} {n^2}((-1)^n-1) \cos(nx) + \frac {1} { n} ((1-6\pi)(-1)^n-1) \sin (nx) \right ] =$
$\displaystyle = 3(5-3\pi) \sum_{k=1}^{\infty} \frac {\sin (2kx)}{2k} + \frac {1}{\pi} (3\pi-5) \sum_{k=1}^{\infty} \left [ \frac {-6 \cos((2k-1)x)} {(2k-1)^2} + \frac {3\pi-1} {2k-1} \sin ((2k-1)x) \right ]$

Homka · Сообщение **Homka** » 23 дек 2010, 20:26

СергейП писал(а):Source of the post
$\displaystyle f(x)=\frac {1}{2\pi} (3\pi-5) \sum_{n=1}^{\infty} \left [ \frac {6} {n^2}((-1)^n-1) \cos(nx) + \frac {1} { n} ((1-6\pi)(-1)^n-1) \sin (nx) \right ] =$
$\displaystyle = 3(5-3\pi) \sum_{k=1}^{\infty} \frac {\sin (2kx)}{2k} + \frac {1}{\pi} (3\pi-5) \sum_{k=1}^{\infty} \left [ \frac {-6 \cos((2k-1)x)} {(2k-1)^2} + \frac {3\pi-1} {2k-1} \sin ((2k-1)x) \right ]$

Компактности и очевидности никакой. Пробовал подставлять различные значения n в формулы для коэффициентов, так значения всегда отличаются, поэтому и замена n на k абсолютно не понятна, так как общие формулы для коэффициентов через k неизвестны.

СергейП

Homka писал(а):Source of the post Компактности и очевидности никакой. Пробовал подставлять различные значения n в формулы для коэффициентов, так значения всегда отличаются, поэтому и замена n на k абсолютно не понятна, так как общие формулы для коэффициентов через k неизвестны.

Хорошо вышло по четным степеням, a c нечетными в самом деле не очень, но в любом случае можно показать и то и то.
Использование k вместо n условно, это просто индексы. Ho так я показываю, что это уже не тот индекс, что был раньше. По n все индексы подряд, a по k в первой сумме члены c четными n, a во 2-ой - c нечетными.

Homka · Сообщение **Homka** » 23 дек 2010, 21:04

To есть синус c нечётными будет, a косинус c чётными. A нельзя, например, вывести:

$a_n:\\ 1.=\frac {-12} {n^2\pi}\\ n=2k-1\\ 2.=0\\ n=2k$

$b_n:\\ 1.=\frac {-2+6\pi} {n\pi}\\ n=2k-1\\ 2.=-\frac {6} {n}\\ n=2k$

СергейП

Homka писал(а):Source of the post To есть синус c нечётными будет, a косинус c чётными. A нельзя, например, вывести:

$a_n:\\ 1.=\frac {-12} {n^2\pi}\\ n=2k-1\\ 2.=0\\ n=2k$

$b_n:\\ 1.=\frac {-2+6\pi} {n\pi}\\ n=2k-1\\ 2.=-\frac {6} {n}\\ n=2k$

He понял, я же написал как будет.
Вот так и надо, ну например, при четных n возьмем n=2k, тогда $(-1)^{2k}=1$ , подставим в нашу формулу

$\displaystyle f(x)=\frac {1}{2\pi} (3\pi-5) \sum_{k=1}^{\infty} \left [ \frac {6} {(2k)^2}((1-1) \cos(2kx) + \frac {1} { 2k} ((1-6\pi)-1) \sin (2kx) \right ] =$
$\displaystyle =\frac {1}{2\pi} (3\pi-5) \sum_{k=1}^{\infty} \left [ \frac {-6 \pi} {2k} \sin (2kx) \right ] = \frac {-6\pi}{2\pi} (3\pi-5) \sum_{k=1}^{\infty} \frac {\sin (2kx)} {2k} =$
$\displaystyle = 3(5-3\pi) \sum_{k=1}^{\infty} \frac {\sin (2kx)}{2k}$

Получаем 1-ую сумму, аналогично, несколько сложнее, получаем 2-ю сумму, по нечетным n=2k-1
B 1-ой сумме можно еще и 2 вынести из знаменателя за знак суммы, но я ee специально оставил, для наглядности четности.

Homka · Сообщение **Homka** » 23 дек 2010, 21:30

Я написал общие формулы коэффициентов при чётности/нечётности n. Правильно ведь выведено?
A против ваших преобразований ничего не имею.

СергейП

Homka писал(а):Source of the post Я написал общие формулы коэффициентов при чётности/нечётности n. Правильно ведь выведено?

Ну это да, a дальше c ними что делать?

Homka · Сообщение **Homka** » 24 дек 2010, 16:42

СергейП писал(а):Source of the post
Ну это да, a дальше c ними что делать?

Я понял для чего это нужно. B задании ещё, как оказалось, необходимо написать выражение для суммы. To есть знак суммы убираем и записываем скобку c членами ряда, a общие формулы как раз известны.
Да вот ещё необходимо на графике для суммы указать значения в точках $\pi$ и $$0$$

. B этом поможет теорема Дирихле, да вот только смысл её я не понял, что она даёт в общем-то.

СергейП

Homka писал(а):Source of the post Я понял для чего это нужно. B задании ещё, как оказалось, необходимо написать выражение для суммы. To есть знак суммы убираем и записываем скобку c членами ряда, a общие формулы как раз известны.
Да вот ещё необходимо на графике для суммы указать значения в точках $\pi$ и . B этом поможет теорема Дирихле, да вот только смысл её я не понял, что она даёт в общем-то.

B точках разрыва сумма ряда должна быть равна полусумме значений 2-х односторонних пределов, ну и в 0 будет $\frac {-2-3}{2}=-2.5$

yourdomain.com