antacid1 писал(а):Source of the post
Помогите и мне c пониманием.
Никак не могу понять зачем под интегралом функция обязательно умножается на дифференциал.
И в книгах не написано...
Я тоже по началу не понимал. Ho по мере работы c интегралами (нахождение первообразных, решение дифференциальных уравнений) стал понимать все удобство такой символики.
Как и любое обозначение, этот знак обладает как синтаксической ролью, так и семантической.
Bo-первых, на это можно смотреть просто как на формальное обозначение, a не как на знак "умножить". Просто так обозначается множество первообразных функции f(x).
Однако, в силу некоторых теорем интегрального исчисления, оказывается, что в некоторых случаях, можно видить в этом знак умножения.
Приведу пример.
Как известно, производная сложной функции определяется:
$$
(F(g(x)))'=f(g(x))g'(x),
ãäå f(g(x))=F'(g(x))$$
И нам нужно вычислить интеграл, вида:
Можно, конечно, написать пусть
A можно условиться, под записью:
Плюс, по известной теореме, o том, что если дифференциалы функций f и g равны, то их первообразные разнятся на постоянную величину, мы, фактически, имеем право просто "подрисовать" знаки интегралов в дифференциальном равенстве. Это тоже, очень удобно.
И, наконец. Дифференциал по сути - оператор на пространстве функций. И c помощью "умножения на дифференциал" под знаком интеграла, более естественно выглядит обратность операций дифференцирования и интегрирования.:
Как часто говорят люди c гуманитарным складом ума: "дифференциал съедает интеграл".
Итог такой: само по себе обозначение просто формальное и не является знаком умножения, но в силу определенных теорем, в некоторых случаях это обозначение отвечает привычным нам свойствам знака "умножить".
