Найти массу пластины

daranton · Сообщение **daranton** » 02 дек 2010, 23:56

Здравствуйте!

Помогите пожалуйста найти массу пластины c плотностью $\rho(x,y)=1-x$ , заданной неравенствами:

$x^2+y^2\leqslant2x,~x\geqslant1,~y\geqslant0$

Наработок никаких нет, извините, потому как не понимаю как решать.

Очень нужна помощь.

Спасибо Всем!

Pyotr · Сообщение **Pyotr** » 03 дек 2010, 07:08

Область представляет собой первую четверть круга радиуса 1: $$(x-1)^2+y^2=1$$

, для нахождения массы следует вычислить двойной интеграл от плотности пластины по указанной области. Удобнее перейти в систему координат, c центром в центре круга. Искомая масса отрицательна.

Homka · Сообщение **Homka** » 03 дек 2010, 12:01

$x^2+y^2=2x \\ x^2-2x+1+y^2=1 \\ (x-1)^2+y^2=1 \\$

Переход к полярным координатам:
$y=\rho\sin f\\ x=\rho\cos f$

Подставляем в уравнение круга:
$\rho^2\cos^2f+\rho^2\sin f^2=2\rho\cos f\\ \rho^2=2\rho\cos f\\ \rho=2\cos f\\$

Подставляем в уравнение массы:
$m(x,y)=1-x\\ m(f,\rho)=1-\rho\cos f$

Получаем
$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1-\cos f}\rho(1-\rho\cos f) d\rho df$

daranton · Сообщение **daranton** » 03 дек 2010, 14:09

Homka

Объясните что Вы делали в каждом действии пожалуйста?

Интеграл этот как вычислить?

Спасибо!

СергейП

Homka писал(а):Source of the post ...

Подставляем в уравнение массы:
$m(x,y)=1-x\\ m(f,\rho)=1-\rho\cos f$

Получаем
$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1-\cos f}\rho(1-\rho\cos f) d\rho df$

Неправильно c пределами интегрирования, окружность в 1-ой и 4-ой четвертях, поэтому, если бы не было еще 2-х ограничений $~x\geqslant1,~y\geqslant0$ , то пределы по $\phi$ были бы от $-\pi/2$ до $\pi/2$ .
Условие $~y\geqslant0$ , получаем $\phi \geqslant 0$ , a вот c $~x\geqslant1$ сложнее, тогда $0 \leqslant \phi \leqslant \pi/4$ и еще надо менять пределы по $\rho$

daranton · Сообщение **daranton** » 03 дек 2010, 14:28

СергейП

A можно полностью c исправлениями плиззззз....???

Огромное спасибо!

M	Ну сколько можно? Уже всё сказано. Тема закрыта

A	Ну сколько можно? Уже всё сказано. Тема закрыта

Pyotr · Сообщение **Pyotr** » 03 дек 2010, 14:32

СергейП писал(а):Source of the post
...окружность в 1-ой и 4-ой четвертях

He могу усмотреть 4-ую четверть.

СергейП

Pyotr писал(а):Source of the post
СергейП писал(а):Source of the post ...окружность в 1-ой и 4-ой четвертях
He могу усмотреть 4-ую четверть.

Так a в каких четвертях окружность радиуса 1 c центром (1,0)
A вообще-то лучше весь мой пост прочесть.

Pyotr · Сообщение **Pyotr** » 03 дек 2010, 15:01

СергейП писал(а):Source of the post
Pyotr писал(а):Source of the post
СергейП писал(а):Source of the post ...окружность в 1-ой и 4-ой четвертях
He могу усмотреть 4-ую четверть.
Так a в каких четвертях окружность радиуса 1 c центром (1,0)
A вообще-то лучше весь мой пост прочесть.

4-ая четверть соответствует отрицательным значениям у.

yourdomain.com