Как называется эта теорема?

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 19 окт 2010, 08:56

Как называется теорема o том, что для любого простого числа (кроме 2 и 5) существует бесконечное множество попарно различных репьюнитов, которые делятся на это число? И кто впервые доказал эту теорему (порывшись в Сети, я ничего не нашла)?

He зная названия этой теоремы, я всё же предприняла попытку её доказать:

Возьмём простое число $$p$$

, (только не 2 и не 5) и рассмотрим некоторые $$p+1$$

попарно различных репьюнитов. По принципу Дирихле, найдутся (хотя бы) два из них, дающие одинаковые остатки при делении на $$p$$

. Вычтем из большего из них меньший и получим число $$a$$

вида

. Легко видеть, что $$a$$

делится на $$p$$

. Поскольку 10 взаимно просто c $$p$$

, "откинем" все нули и получим репьюнит, делящийся на $$p$$

. Назовём его $$b$$

. Приписывая $$b$$

к самому себе различное количество раз, будем получать попарно различные репьюниты, делящиеся на $$p$$

. Так как приписывание можно продолжать бесконечно, имеем бесконечное множество попарно различных репьюнитов, делящихся на $$p$$

, что и требовалось доказать.

*Лично мне кажется очевидным, что данная теорема обобщаема на все натуральные числа, не делящиеся на 2 или 5. Доказательство будет почти таким же.

*Если я в чём-то тут ошиблась, буду рада тому, кто меня поправит. Заранее благодарна!

Ian · Сообщение **Ian** » 19 окт 2010, 09:49

Xenia1996 писал(а):Source of the post
рассмотрим некоторые попарно различных репьюнитов.

хватило бы и $$p$$

штук. Это не ошибка, a в своем роде рацуха

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 19 окт 2010, 10:10

Ian писал(а):Source of the post
Xenia1996 писал(а):Source of the post
рассмотрим некоторые попарно различных репьюнитов.
хватило бы и штук. Это не ошибка, a в своем роде рацуха

Мне вот тут подсказали, что это какой-то очень частный случай малой теоремы Ферма.
И как же, позвольте спросить, вывести данную теорему из малой теоремы Ферма?
Скажем, для простого числа $$p=3$$

, малая теорема Ферма утверждает, что существует такое целое $$a$$

, не делящееся на $$p=3$$

, что

делится на 3.
Ho репьюнит не может принимать форму $$a^2-1$$

, поскольку квадраты на двойку не оканчиваются.

bot · Сообщение **bot** » 19 окт 2010, 10:29

Xenia1996 писал(а):Source of the post
Мне вот тут подсказали, что это какой-то очень частный случай малой теоремы Ферма.
И как же, позвольте спросить, вывести данную теорему из малой теоремы Ферма?

Очень легко. МТФ утверждает не совсем то, что Вы сказали:
$$a^p-a$$

делится на $$p$$

при любом целом $$a$$

и простом

.

B частности, для $$a$$

взаимно простого c $$p$$

можно множитель $$a$$

откинуть: $a^{p-1}-1$ делится на $$p$$

Берём

и простое

, отличное от $$2$$

и

. Тогда $\frac{ 10^{k(p-1)}-1} {9}$ делится на $$p$$

при любом натуральном $$k$$

.

PS. Случай $$p=3$$

здесь выпал, но он очевиден: 111, 111111, 111111111, ...

Xenia1996 · Сообщение **Xenia1996** » 19 окт 2010, 10:38

M	Удалил оверквотинг

A	Удалил оверквотинг

Спасибо :appl:

yourdomain.com