Поток векторного поля

Destiny · Сообщение **Destiny** » 24 авг 2010, 16:19

Вычислить поток векторного поля F через внешнюю поверхность пирамиды, образованной плоскостью P и координатными плоскостями двумя способами:
a) использовав определение потока;
б) c помощью формулы Остроградского-Гаусса.
$F=(3x-1)\overline{i} + (-x+y+z)\overline{j} + 4z\overline{k}$
$$P: 2x-y-2z=2$$

a)

$\Pi_1=4\int\int_{Oxy}zdxdy=4\int\int_{Oxy}0dxdy=0$
$$Oxz: y=0; n=j; ds=dxdz$$

$\Pi_2=\int\int_{Oxz}(z-x)dxdz=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x-1}(z-x)dz=\frac 1 3$
$$Oyz: x=0; n=-i; ds=dydz$$

$\Pi_3=-\int\int_{Oyz}(3x-1)dydz=-\int\int_{Oyz}(-1)dydz=\int\int_{Oyz}dydz=$
$=\int_{-2}^{0}dy\int_{-\frac y 2-1}^{0}dz=1$
$Xyz: 2x-y-2z=2; n=\frac {i+j-k} {\sqrt{4+1+4}}=\frac {i+j-k} 3$
$$z'_x=1$$

$z'_y=\frac {-1} 2$
$z=x-\frac y 2-1$
$dS=\sqrt{\(1+1+\frac 1 4}} dxdy=\frac 3 2 dxdy$
$\Pi_4=\int\int_{Xyz}((3x-1)+(-x+y+x)-4z)\frac {3} {6}dxdy=$
$=\frac 1 2\int\int_{Xyz}(-x+\frac 5 2 y-4)dxdy=\frac 1 2\int_{0}^{1}dx\int_{2x-2}^{0}(-x+\frac 5 2 y-4)dy=3$
$\Pi=\Pi_1+\Pi_2+\Pi_3+\Pi_4=0+\frac 1 3+1+3=\mathbf{\frac {13} 3}$
б) $\Pi=\int\int\int_{s}divFdxdydz=8\int_{0}^{1}dx\int_{2x-2}^{0}dy\int_{x-\frac y 2-1}^{0}dz=\mathbf{\frac 8 3}$
Ответы получаются разные, подскажите пожалуйста, где ошибка.

Ian · Сообщение **Ian** » 24 авг 2010, 16:34

$\displaystyle \Pi_2<0$ , т.к. $\displaystyle z<0,x>0$ значит подынт.функция $\displaystyle z-x<0$ на всей грани
И видимо где-то еще одна ошибка,ищем

A конкретно в вычислении П₂ ошибка в том ,что х-1 нижний предел,a 0 верхний
У меня вышло П₂= $\displaystyle -\frac 16$ .
Через дивергенцию расчет верный, видимо еще П₄ не так. Нормаль для П₄в числителе будет иметь 2i-j-2k

Destiny · Сообщение **Destiny** » 24 авг 2010, 16:38

Ian писал(а):Source of the post
$\displaystyle \Pi_2<0$ , т.к. $\displaystyle z<0,x>0$ значит подынт.функция $\displaystyle z-x<0$ на всей грани

Чего то я не очень поняла

Destiny · Сообщение **Destiny** » 24 авг 2010, 17:26

Ian писал(а):Source of the post

A конкретно в вычислении П₂ ошибка в том ,что х-1 нижний предел,a 0 верхний
У меня вышло П₂= $\displaystyle -\frac 16$ .

Ну если x-1 нижний, a 0 верхний, то у меня получилось $-\frac 2 6$ , ну или $-\frac 1 3$ .

Ian · Сообщение **Ian** » 24 авг 2010, 17:37

Я тоже не 100% надежно считаю. но
$\Pi_2=\int\int_{Oxz}(z-x)dxdz=\int_{0}^{1}dx\int_{x-1}^0 (z-x)dz=\\ =-\int_0^1(\frac {(x-1)^2}2-x^2+x)dx=-\frac 1 6$
A в П4 у меня c Вами огромные расхождения. Ho пока не сходится c ответом

Destiny · Сообщение **Destiny** » 24 авг 2010, 18:46

Ian писал(а):Source of the post
Я тоже не 100% надежно считаю. но
$\Pi_2=\int\int_{Oxz}(z-x)dxdz=\int_{0}^{1}dx\int_{x-1}^0 (z-x)dz=\\ =-\int_0^1(\frac {(x-1)^2}2-x^2+x)dx=-\frac 1 6$

Я точно считать разучилась, вот получается $-\frac 1 3$ и хоть убей, но лучше поверим Вам.

Ian · Сообщение **Ian** » 24 авг 2010, 19:06

Destiny писал(а):Source of the post
Ian писал(а):Source of the post
Я тоже не 100% надежно считаю. но
$\Pi_2=\int\int_{Oxz}(z-x)dxdz=\int_{0}^{1}dx\int_{x-1}^0 (z-x)dz=\\ =-\int_0^1(\frac {(x-1)^2}2-x^2+x)dx=-\frac 1 6$

Я точно считать разучилась, вот получается $-\frac 1 3$ и хоть убей, но лучше поверим Вам.

Нет,каюсь, теперь $\Pi_2=-\frac 13$ Остальное завтра,или кто-нибудь еще поможет

Destiny · Сообщение **Destiny** » 24 авг 2010, 19:18

Ian писал(а):Source of the post
Destiny писал(а):Source of the post
Ian писал(а):Source of the post
Я тоже не 100% надежно считаю. но
$\Pi_2=\int\int_{Oxz}(z-x)dxdz=\int_{0}^{1}dx\int_{x-1}^0 (z-x)dz=\\ =-\int_0^1(\frac {(x-1)^2}2-x^2+x)dx=-\frac 1 6$

Я точно считать разучилась, вот получается $-\frac 1 3$ и хоть убей, но лучше поверим Вам.
Нет,каюсь, теперь $\Pi_2=-\frac 13$ Остальное завтра,или кто-нибудь еще поможет

Надеюсь поможет...Спасибо!

СергейП

Destiny писал(а):Source of the post Ответы получаются разные, подскажите пожалуйста, где ошибка.

При вычислении $\Pi_4$ надо поправить нормаль -
$Xyz: 2x-y-2z=2; n=\frac {2i-j-2k} {\sqrt{4+1+4}}=\frac {2i-j-2k} 3$
Тогда $\Pi_4=\ldots =\int_{0}^{1}dx\int_{2x-2}^{0}(-x+\frac 7 4 y + \frac 7 2)dy=2$
И все сходится $\Pi=\Pi_1+\Pi_2+\Pi_3+\Pi_4=0-\frac 1 3+1+2=\mathbf{\frac {8} 3}$

Destiny · Сообщение **Destiny** » 25 авг 2010, 10:22

СергейП писал(а):Source of the post
Destiny писал(а):Source of the post Ответы получаются разные, подскажите пожалуйста, где ошибка.
При вычислении $\Pi_4$ надо поправить нормаль -
$Xyz: 2x-y-2z=2; n=\frac {2i-j-2k} {\sqrt{4+1+4}}=\frac {2i-j-2k} 3$
Тогда $\Pi_4=\ldots =\int_{0}^{1}dx\int_{2x-2}^{0}(-x+\frac 7 4 y + \frac 7 2)dy=2$
И все сходится $\Pi=\Pi_1+\Pi_2+\Pi_3+\Pi_4=0-\frac 1 3+1+2=\mathbf{\frac {8} 3}$

Спасибо большое за помощь, все получилось!

yourdomain.com