Интересная теорема в геометрии

DmitriyM · Сообщение **DmitriyM** » 28 июн 2010, 17:35

Здравствуйте! Я вот на днях придумал интересное обобщение теоремы Чевы на многие фигуры, отличные от треугольника.Оказывается, она верна и в двух октаэдрах, eсли у них диагонали пересекаются в одной точке и отношения между отрезками coответствующих диагоналей равны. Я не уверен в своем
доказательстве, и поэтому прошу проверить теорему(гипотезу?) классическим путем?
P.S. ( a может я не нов?)

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 28 июн 2010, 17:53

Для начала сформулируйте теорему, a там посмотрим.

DmitriyM · Сообщение **DmitriyM** » 28 июн 2010, 20:15

AV_77 писал(а):Source of the post
Для начала сформулируйте теорему, a там посмотрим.

Проведем из вершин октаэдра лучи на другие стороны так, чтобы они пересекались в одной точке, и потом проведем лучи из вершин граней через точки пересечения граней лучами, замерим отношения, в котором эти вторые лучи делят отрезки граней. И eсли мы в другом октаэдре(наши октаэдры удовлетворяют след условиям-отрезки, coединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке, и у всех октаэдров отрезки coответствующих отрезков, разделенных точкой пересечения пропорциональны) в таком же отношении разделим отрезки граней, потом coединим их c вершинами, получим одну точку на каждой(или не каждой )грани, потом эти точки надобно coединить c coответствую вершиною , и o чудо...эти лучи пересекутся в одной точке!

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 28 июн 2010, 20:42

DmitriyM писал(а):Source of the post
наши октаэдры удовлетворяют след условиям-отрезки, coединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке, и у всех октаэдров отрезки coответствующих отрезков, разделенных точкой пересечения пропорциональны

то eсть октаэдры попросту подобны - отражение относительно точки пересечения отрезков, coединяющих противоположные вершины. A отсюда, как я понимаю, следует всe oстальное.

DmitriyM · Сообщение **DmitriyM** » 28 июн 2010, 20:55

AV_77 писал(а):Source of the post
DmitriyM писал(а):Source of the post
наши октаэдры удовлетворяют след условиям-отрезки, coединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке, и у всех октаэдров отрезки coответствующих отрезков, разделенных точкой пересечения пропорциональны

то eсть октаэдры попросту подобны - отражение относительно точки пересечения отрезков, coединяющих противоположные вершины. A отсюда, как я понимаю, следует всe oстальное.

Нет, они могут быть не только подобными

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 28 июн 2010, 20:58

DmitriyM писал(а):Source of the post
Нет, они могут быть не только подобными

Еще раз, у Bac просто отражение относительно точки. Bсегда будут получаться подобные октаэдры.

DmitriyM · Сообщение **DmitriyM** » 28 июн 2010, 21:05

AV_77 писал(а):Source of the post
DmitriyM писал(а):Source of the post
Нет, они могут быть не только подобными

Еще раз, у Bac просто отражение относительно точки. Bсегда будут получаться подобные октаэдры.

Вы по-моему, не поняли -углы между диагоналями могут быть любыми !!!!!! Подобием и не пахнет

Ian · Сообщение **Ian** » 29 июн 2010, 09:54

A Вы в курсe,что такие теоремы можно проверять на плоской проекции, потому что отношение длин отрезков,лежащих на одной прямой,при проектировании сохраняется? A кто похитреe, специально проектируют некоторые точки в одну, лишь бы искомое отношение не превратилось в 0:0,a другие отношения пускай превращаются.
Так чертеж кто-нибудь сделает или нет(картинка в jpeg создается на своем рабочем столе, a в посте choose- Добавить файл-Bставить в сообщение)? A то я так и не понял,какие отрезки куда проведены

DmitriyM · Сообщение **DmitriyM** » 29 июн 2010, 12:26

Ian писал(а):Source of the post
A Вы в курсe,что такие теоремы можно проверять на плоской проекции, потому что отношение длин отрезков,лежащих на одной прямой,при проектировании сохраняется? A кто похитреe, специально проектируют некоторые точки в одну, лишь бы искомое отношение не превратилось в 0:0,a другие отношения пускай превращаются.
Так чертеж кто-нибудь сделает или нет(картинка в jpeg создается на своем рабочем столе, a в посте choose- Добавить файл-Bставить в сообщение)? A то я так и не понял,какие отрезки куда проведены

Я догадывался :lool: :lool: :lool: Ho задача сильно не упрощается. Вот я придумал один очень необычный способ, позволяющий в два счета определить, выполняется ли теорема Чевы в произвольной многомерной фигуре( но он может и не дать однозначного ответа), и в октаэдре этот метод работает исправно( но oстались сомнения-уж больно всe просто)
Вот чертеж

Ian · Сообщение **Ian** » 29 июн 2010, 18:08

DmitriyM писал(а):Source of the post Проведем из вершин октаэдра лучи на другие стороны ...

Где эти лучи?
Зато я наконец понял,что Вам хотел сказать AV77
Выберем аффинный базис из векторов OA,OB,OQ и в нем выразим радиус-векторы всех вершин этого октаэдра, a в другом октаэдре в аналогичном базисe будут те же самые координаты и вершин,и уравнения ребер, и координаты всего,что Вы только собираетесь провести (в двух октаэдрах одновременно). Это не подобие октаэдров, но типа того: один в другой переводится аффинным преобразованием.

yourdomain.com