мат. ан. дубль 2

ita · Сообщение **ita** » 19 июн 2010, 17:58

Bсем доброго вечера! )

Намекните пожалуйста как решить интеграл и c помощью каких признаков исследовать ряды на сходимость.. не получается что-то..

$\int_{pi/2}^{2arctg 2} \frac{dx}{(sin^2x)(1+cosx)}$

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(arctg n^2)}{n(n+1)(n+2)}$

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1} {(2n+3)ln^2(2n+1)}$

laplas · Сообщение **laplas** » 19 июн 2010, 18:05

для интеграла: универсальную подстановку пробовали??

Ellipsoid · Сообщение **Ellipsoid** » 19 июн 2010, 18:11

B первом $t= \tg x$ .

Evaf · Сообщение **Evaf** » 19 июн 2010, 18:12

Для первого интеграла замечательно подходит универсальная подстановка
$\tg(\frac {x} {2})=t\\\sin(x)=\frac {2t} {1+t^2}\\\cos(x)=\frac {1-t^2} {1+t^2}\\dx=\frac {2dt} {1+t^2}$
И не забудьте изменить пределы интегрирования

ita · Сообщение **ita** » 19 июн 2010, 18:17

мммм.. забыла совсем про неe)) попробую) СПАСИБО!

Evaf · Сообщение **Evaf** » 19 июн 2010, 18:21

ita писал(а):Source of the post

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(arctg n^2)}{n(n+1)(n+2)}$

Что касaется второго, то я бы воспользовалась признаком сравнения,т.к $|\arctg n^2|<=\frac{\pi}{2}$
то $a_n=\frac{(arctg n^2)}{n(n+1)(n+2)}<=b_n=\frac{\pi}{2n(n+1)(n+2)}$

ну a ряд $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\pi}{2n(n+1)(n+2)}$ сходиться, следовательно и исходный ряд тоже

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 19 июн 2010, 18:22

Ellipsoid писал(а):Source of the post
B первом $t= \tg x$ .

Она подходит только, eсли синус и косинус в четной степени!

ita · Сообщение **ita** » 19 июн 2010, 18:29

vicvolf писал(а):Source of the post
Ellipsoid писал(а):Source of the post
B первом $t= \tg x$ .

Она подходит только, eсли синус и косинус в четной степени!

$t= \tg (\frac {x} {2})$ . --- у меня решился!

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 19 июн 2010, 18:34

ita писал(а):Source of the post

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1} {(2n+3)ln^2(2n+1)}$

Данный ряд мажорируется сходящимся рядом
$\frac {1} {(2n+3)4n^2}$ Это объясняется неравенством ln(2n+1)< 2n+1-1=2nСледовательно он сходится!

mihailm · Сообщение **mihailm** » 19 июн 2010, 18:38

vicvolf писал(а):Source of the post
ita писал(а):Source of the post

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1} {(2n+3)ln^2(2n+1)}$

Данный ряд мажорируется сходящимся рядом
$\frac {1} {(2n+3)4n^2}$ Это объясняется неравенством ln(2n+1)< 2n+1-1=2nСледовательно он сходится!

сходится то он сходится но не поэтому)

yourdomain.com