поток век.поля через часть поверхности

Kelor · Сообщение **Kelor** » 13 май 2010, 16:30

Найти поток векторного поля a через часть поверхности S, вырезаемую плоскостью P (нормаль внешния к замкнутой поверхности, образуемая данными поверхностями)

a=(x+y)i - (y-x)j + zk
S: x² + y² + z² = 4
P: z=0 (z>=0)

Как это решать я без понятия, в инэте никаких примеров, по примеру c лекции я чето попробывал сделать, но кажится это какой то бред...

тело - полусфера r=2
$$П = \int_{S}{}\int_ \vec{}\vec{a}\vec{n}dS $$</span> <span class=

$$" title="$$ $$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">П = \int_{S}^{}{}\int (a_{x}cos\alpha + a_{y}cos\beta + a_{z}cos\gamma)dS $$</span> <span class=

$$" title="$$ $$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">w = 4 $$</span> <span class=

$$" title="$$ $$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">cos\alpha,\beta,\gamma = x/2 $$</span> <span class=

$$" title="$$ $$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">\int\int_{S}{((x+y)x/2 - (y-x)y/2 + z^{2}/2})dS$$
a что дальше тут далать

Ian · Сообщение **Ian** » 13 май 2010, 17:19

Kelor писал(а):Source of the post
Найти поток векторного поля a через часть поверхности S, вырезаемую плоскостью P (нормаль внешния к замкнутой поверхности, образуемая данными поверхностями)

a=(x+y)i - (y-x)j + zk
S: x² + y² + z² = 4
P: z=0 (z>=0)

Как это решать я без понятия, в инэте никаких примеров, по примеру c лекции я чето попробывал сделать, но кажится это какой то бред...

тело - полусфера r=2
$$П = \int_{S}{}\int_ \vec{}\vec{a}\vec{n}dS $$" title="$$ $$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">П = \int_{S}^{}{}\int (a_{x}cos\alpha + a_{y}cos\beta + a_{z}cos\gamma)dS$$" title="$$ $$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">w = 4$$" title="$$ $$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">cos\alpha,\beta,\gamma = x/2$$" title="$$ $$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">\int\int_{S}{((x+y)x/2 - (y-x)y/2 + z^{2}/2})dS$$
a что дальше тут далать

Добавлю Вам что $dS cos{\gamma}=dxdy$ . Теперь сможете?

Kelor · Сообщение **Kelor** » 13 май 2010, 21:51

Может так

$\int_{S}\int_{}^{}{a_{x}d_{y}d_{z}+a_{y}d_{x}d_{z}+a_{z}d_{x}d_{y}$

$\int_{S}\int(-\frac {d_z} {d_x}(x+y)-\frac {d_z} {d_y}(y-x)+z)dxdy$

только как было ниче не понятно так и осталось
ответ случаем не 8Пи будет?

Ian · Сообщение **Ian** » 14 май 2010, 06:00

Ian писал(а):Source of the post
Kelor писал(а):Source of the post
....
$cos\alpha,\beta,\gamma = x/2$ ДОБАВИТЬ y/2,z/2 B СПИСОК

$\int\int_{S}{((x+y)x/2 - (y-x)y/2 + z^{2}/2})dS$
a что дальше тут далать

Добавлю Вам что $dS cos{\gamma}=dxdy$ . Теперь сможете?

Ой . <_< A как хорошо начинали, в посте 1 только одна опечатка- исправляю здесьЯ имел в виду такое продолжение:"перейдем к координатам "х,у" $\int\int_{S}{((x+y)x/2 - (y-x)y/2 + z^{2}/2})dS=\int\int_{S}{((x+y)x/z - (y-x)y/z + z)dxdy}=$
$x=r cos\phi,y=rsin\phi,z=\sqrt{4-x^2-y^2}=\sqrt{4-r^2} ,dxdy=rdrd\phi$ ("перейдем к полярным координатам "r,фи")
$=\int_0^{2\pi}\int_0^2(\frac{r^2(cos 2\phi+sin 2\phi)}{\sqrt{4-r^2}}+\sqrt{4-r^2})r dr d\phi$ Первое слагаемое дает интеграл по фи 0 и по r уже можно не считать.Останется второе,замена переменных $$t=4-r^2$$

Kelor · Сообщение **Kelor** » 14 май 2010, 10:51

Ian писал(а):Source of the post
Ian писал(а):Source of the post
Kelor писал(а):Source of the post
....
$cos\alpha,\beta,\gamma = x/2$ ДОБАВИТЬ y/2,z/2 B СПИСОК

$\int\int_{S}{((x+y)x/2 - (y-x)y/2 + z^{2}/2})dS$
a что дальше тут далать

Добавлю Вам что $dS cos{\gamma}=dxdy$ . Теперь сможете?
Ой . <_< A как хорошо начинали, в посте 1 только одна опечатка- исправляю здесьЯ имел в виду такое продолжение:"перейдем к координатам "х,у" $\int\int_{S}{((x+y)x/2 - (y-x)y/2 + z^{2}/2})dS=\int\int_{S}{((x+y)x/z - (y-x)y/z + z)dxdy}=$
$x=r cos\phi,y=rsin\phi,z=\sqrt{4-x^2-y^2}=\sqrt{4-r^2} ,dxdy=rdrd\phi$ ("перейдем к полярным координатам "r,фи")
$=\int_0^{2\pi}\int_0^2(\frac{r^2(cos 2\phi+sin 2\phi)}{\sqrt{4-r^2}}+\sqrt{4-r^2})r dr d\phi$ Первое слагаемое дает интеграл по фи 0 и по r уже можно не считать.Останется второе,замена переменных

Чето я не совсем понял как c заменой,
надо брать интеграл:

$\int_{0}^{2Pi}{\sqrt{(4 - x^2)}x}dx = -\frac {1} {3}(4-x^2)^{1,5}$ вроде это тоже самое, что я посчитал справа на лево:

$\frac {16Pi+8} {3}$

Ian · Сообщение **Ian** » 14 май 2010, 11:06

Kelor писал(а):Source of the post
Чето я не совсем понял как c заменой,
надо брать интеграл:

$\int_{0}^{2Pi}{\sqrt{(4 - x^2)}x}dx = -\frac {1} {3}(4-x^2)^{1,5}$ вроде это тоже самое, что я посчитал справа на лево:

$\frac {16Pi+8} {3}$

Вы неправильно написали выражение которое надо посчитать.Интеграл повторный по фи и по r,но корень от фи не зависит, поэтому по фи интегрируем единицу, по r (c заменой) корень и результаты перемножаем.

Kelor · Сообщение **Kelor** » 14 май 2010, 22:42

Ian писал(а):Source of the post
Kelor писал(а):Source of the post
Чето я не совсем понял как c заменой,
надо брать интеграл:

$\int_{0}^{2Pi}{\sqrt{(4 - x^2)}x}dx = -\frac {1} {3}(4-x^2)^{1,5}$ вроде это тоже самое, что я посчитал справа на лево:

$\frac {16Pi+8} {3}$
Вы неправильно написали выражение которое надо посчитать.Интеграл повторный по фи и по r,но корень от фи не зависит, поэтому по фи интегрируем единицу, по r (c заменой) корень и результаты перемножаем.

это жуть a не интеграл

кое-как я все таки сделал замену:

$[t=4-r^2] [dt= -2rdr]= \int_{4}^{0}{(\frac {4-t} {\sqrt{t}} + \sqrt{t})\sqrt{4-t}\frac {1} {-2\sqrt{4-t}}dt = \int_{4}^{0}\frac {4\sqrt{4-t}} {-2\sqrt{t}\sqrt{4-t}}dt= \int_{4}^{0}{\frac {2} {-\sqrt{t}}} = -4\sqrt{t}|_{4}^{0} = 8$

Если это правильно то в чем фишка замены я не понял

$\int_{0}^{2}{(\frac {r^2} {\sqrt{4-r^2}}+\sqrt{4-r^2})rdr = \int_{0}^{2}{\frac {4r} {\sqrt{4-r}}}dr=-4\sqrt{4-r^2}|_{0}^{2}=8$

Ian · Сообщение **Ian** » 15 май 2010, 06:38

Kelor писал(а):Source of the post
кое-как я все таки сделал замену:

$[t=4-r^2] [dt= -2rdr]= \int_{4}^{0}{(\frac {4-t} {\sqrt{t}} + \sqrt{t})\sqrt{4-t}\frac {1} {-2\sqrt{4-t}}dt = \int_{4}^{0}\frac {4\sqrt{4-t}} {-2\sqrt{t}\sqrt{4-t}}dt= \int_{4}^{0}{\frac {2} {-\sqrt{t}}} = -4\sqrt{t}|_{4}^{0} = 8$

Если это правильно то в чем фишка замены я не понял

$\int_{0}^{2}{(\frac {r^2} {\sqrt{4-r^2}}+\sqrt{4-r^2})rdr = \int_{0}^{2}{\frac {4r} {\sqrt{4-r}}}dr=-4\sqrt{4-r^2}|_{0}^{2}=8$

Правильно начато
$\int_0^2\sqrt{4-r^2}rdr=[t=4-r^2] [dt= -2rdr][rdr=-\frac{dt}2]=-\int_4^0\frac{\sqrt t dt}2=0,5 \int_0^4\sqrt t dt=..$

Kelor · Сообщение **Kelor** » 15 май 2010, 16:46

Ian писал(а):Source of the post
Kelor писал(а):Source of the post
кое-как я все таки сделал замену:

$[t=4-r^2] [dt= -2rdr]= \int_{4}^{0}{(\frac {4-t} {\sqrt{t}} + \sqrt{t})\sqrt{4-t}\frac {1} {-2\sqrt{4-t}}dt = \int_{4}^{0}\frac {4\sqrt{4-t}} {-2\sqrt{t}\sqrt{4-t}}dt= \int_{4}^{0}{\frac {2} {-\sqrt{t}}} = -4\sqrt{t}|_{4}^{0} = 8$

Если это правильно то в чем фишка замены я не понял

$\int_{0}^{2}{(\frac {r^2} {\sqrt{4-r^2}}+\sqrt{4-r^2})rdr = \int_{0}^{2}{\frac {4r} {\sqrt{4-r}}}dr=-4\sqrt{4-r^2}|_{0}^{2}=8$
Правильно начато
$\int_0^2\sqrt{4-r^2}rdr=[t=4-r^2] [dt= -2rdr][rdr=-\frac{dt}2]=-\int_4^0\frac{\sqrt t dt}2=0,5 \int_0^4\sqrt t dt=..$

Оказалось проще чем я думал, спасибо за помощь, теперь у меня сделан весь ргр.

yourdomain.com