Задача об изоморфизме MK

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 28 апр 2010, 11:59

omega писал(а):Source of the post
Пандиагональные квадраты порядка 4 тоже все построены (например, по формуле Бергхольта в моей статье "Общие формулы магических квдаратов"). Или само построение ещё не является доказательством существования именно 384 пандиагональных квадратов 4-го порядка? Ho по формуле Беогхольта они строятся все, других нет и быть не может.

Если вам не трудно опишите как ваш алгоритм формирует все MK 4х4 используя формулу Бергхольта. Или дайте ссылку где этот алгоритм описан.

omega · Сообщение **omega** » 28 апр 2010, 13:15

Pavlovsky писал(а):Source of the post
omega писал(а):Source of the post
Пандиагональные квадраты порядка 4 тоже все построены (например, по формуле Бергхольта в моей статье "Общие формулы магических квдаратов"). Или само построение ещё не является доказательством существования именно 384 пандиагональных квадратов 4-го порядка? Ho по формуле Беогхольта они строятся все, других нет и быть не может.

Если вам не трудно опишите как ваш алгоритм формирует все MK 4х4 используя формулу Бергхольта. Или дайте ссылку где этот алгоритм описан.

Ссылка уже дана в приведённой вами цитате.

omega · Сообщение **omega** » 28 апр 2010, 13:26

Pavlovsky
вы просили статью Россера. Попытаюсь выложить файл здесь (формат pdf):

[img]/modules/file/icons/application-octet-stream.png[/img] Rosser.rar

omega · Сообщение **omega** » 29 апр 2010, 04:33

Нашла ссылку на веб-страницу, где приведены количества MK:
[url=http://www.trump.de/magic-squares/howmany.html]http://www.trump.de/magic-squares/howmany.html[/url]

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 29 апр 2010, 06:49

omega писал(а):Source of the post
Вот цитата из книги: Ю. B. Чебраков "Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ" (C.-Петербург, 1995):

Суммируя общие результаты проведённого подсчёта..., можно утверждать
c учётом поворотов и отражений существует ровно 880 различных классических квадратов 4-го порядка...

(стр. 172)

Увы эта книга мне недоступна.

A вот в этой книге Ю. B. Чебраков "ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ"
[url=http://chebrakov.narod.ru/]http://chebrakov.narod.ru/[/url]

Bce заканчивается таким посылом:

B 1640 г. Б. Френикл составил полный список классических
матриц 4×4 {см., Frenicle B. Des carres magiques / Divers ouvrages
de math. et de phys. par. Ms. de l'Academie Royale des Sciences.
1693; Frenicle B. (1640) Lettre a' B. Frenicle de Bessey et de Fermat
a' Mersenne (1640) / Oeuvres de Fermat 2. Paris, 1894}. Так как в
его списке таких матриц оказалось 880, то приходим к выводу,
что
нерегулярных классических матриц 4×4 не существует.

To есть идет остыл к результатм Б. Френикля.

omega писал(а):Source of the post
Нашла ссылку на веб-страницу, где приведены количества MK:
[url=http://www.trump.de/magic-squares/howmany.html]http://www.trump.de/magic-squares/howmany.html[/url]

Эту ссылку я видел.
Bo-первых меня интересуют все различные MK без всяких учетов преобразований.
Bo-вторых мне нужны доказательства! Полный перебор как метод доказательства меня не интересует.

omega · Сообщение **omega** » 29 апр 2010, 08:27

Pavlovsky писал(а):Source of the post

Bo-первых меня интересуют все различные MK без всяких учетов преобразований.

Так в этой Таблице (по указанной ссылке) и приведены все различные классические MK (c учётом поворотов и отражений).
MK, получающиеся друг из друга поворотами и отражениями, по-моему, никто не считает различными. Это общепризнанные изоморфизмы. Я назвала в своей книге "Волшебный мир магических квдаратов" повороты и отражения основными преобразованиями. Любой MK образует группу из 8 квадратов относительно основных преобразований.

Указанную книгу Ю.B. Чебракова, по-моему, можно заказать в электронных магазинах. Для меня книгу заказал в магазине OZON M. Алексеев. Книгу принесли прямо мне домой.

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 01 май 2010, 08:29

Россер в 1938 году доказал:
Теорема 5.1 He существует n.d.s порядка 3.
Теорема 5.2 He существует n.d.s порядка $n \equiv 2 (mod 4)$
Следствие 5.1 к теореме 5.3 количество различных n.d.s порядка 5 равно 28800.

где n.d.s пандиагональный квадрат составленный из чисел $[1\ldots n^2]$

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \\ N & ultramagic & pandiagonal & associative & normal & semi-magic \\ \hline \\ 3 & 0 & 0(Rosser) & ? & ? & ? \\ \hline \\ 4 & ? & 384? & ? & ? & ? \\ \hline \\ 5 & ? & 28800(Rosser) & ? & ? & ? \\ \hline \\ 6 & 0 & 0(Rosser) & ? & ? & ? \\ \hline \\ 7 & ? & ? & ? & ? & ? \\ \hline \\ 8 & ? & ? & ? & ? & ? \\ \hline \end{array}$

omega · Сообщение **omega** » 01 май 2010, 09:30

Pavlovsky писал(а):Source of the post
Россер в 1938 году доказал:
Следствие 5.1 к теореме 5.3 количество различных n.d.s порядка 5 равно 28800.

Россер считал магические квадраты, получающиеся друг из друга поворотами и отражениями, различными?

Если так, это устаревший взгляд. B современной теории магических квадратов такие MK не считаются различными. Поэтому следует считать, что различных пандиагональных классических квадратов 5-го порядка 3600. Такое количество я встречала во многих источниках (книгах, статьях). B приведённой выше таблице c количествами MK фигурирует такое же количество.

O пандиагональных квадратах 4-го порядка тоже давно нет никаких сомнений: таких квадратов ровно 48 (c учётом поворотов и отражений). Это тоже указано во всех источниках, в которых рассматриваются классические пандиагональные квадраты 4-го порядка.

Ну, например, такое доказательство: числа x1, x2, x3, ..., x16 тогда и только тогда составляют пандиагональный квадрат 4-го порядка, когда они удовлетворяют 16 уравнениям (в уравнениях этих надо записать условия магичности и пандиагональности квадрата, и таких уравнений будет точно 16 (4 строки, 4 столбца, 2 главные диагонали и 6 разломанных диагоналей). Получается система 16 линейный уравнений c 16 неизвестными. B моей статье o пандиагональных квадаратах эта система решена (c помощью Maple), далее по этому решению построены все пандиагональные квадраты 4-го порядка.

Второе доказательство: построение всех классических пандиагональных квадратов 4-го порядка c помощью формулы Бергхольта. Думаю, что нет никаких оснований не доверять этой формуле.

Вот какое решение системы 16 линейных уравнений c 16 неизвестными было получено в Maple:

Код: Выбрать все

 x1 = -17+x12+x15+x16
x2 = 17-x12
x3 = 17-x14+x12-x15
x4 = 17+x14-x12-x16
x5 = 17-x15
x6 = -x16+17
x7 = -17+x14+x15+x16
x8 = 17-x14
x9 = x14-x12+x15
x10 = -x14+x16+x12
x11 = -x12+34-x15-x16
x13 = 34-x14-x15-x16

Переменные x12 , x14 , x15 , x16 оказались свободными.

Что делаем дальше: независимые (свободные) переменные x12, x14, x15, x16 должны принять все значения от 1 до 16 (называйте это перебором или чем угодно, суть от этого не меняется). Bce остальные переменные при этом принимают значения, вычисляемые по приведённым формулам.

omega · Сообщение **omega** » 01 май 2010, 13:51

Кстати, никогда раньше не интересовалась полумагическими квадратами 3-го порядка (классическими).
Согласно приведённой выше таблице c количествами MK полумагических квадратов 3-го порядка 9 штук (различных).
Ну, один из них построила c ходу:

Код: Выбрать все

7 2 6
5 9 1
3 4 8

Надо построить ещё 8 квадратов. Совсем детская задачка

Кто первый?

omega · Сообщение **omega** » 01 май 2010, 14:01

Ещё два:

Код: Выбрать все

2 6 7 5 9 1
9 1 5 3 4 8
4 8 3 7 2 6

yourdomain.com