задача на нахождение экстремальной функции

cupuyc · Сообщение **cupuyc** » 18 апр 2010, 21:35

необходимо разогнать систему от скорости V1 до V2 за время T так, чтобы при разгоне развивалась минимальная мощность.
$$P = dE/dt = mVV'$$

нужно найти такое V = V(t), при которой максимальное значение мощности на всём промежутке ускорения будет минимальным среди всего множества функций V(t).

можно предположить, что в случае экстремальной функции V(t) мощность будет всегда одинаковой (можно?), т.e. максимальное значение мощности будет равно средней мощности и будет постоянно за всё время ускорения.
тогда
$$mVdV = Pdt$$

$V = sqrt{2Pt/m + V_1^2}$

что-то смущает в ответе.

Hugin · Сообщение **Hugin** » 18 апр 2010, 22:51

Что-то про минимальную мощность не нравится мне. Мощность это вообще характеристика мгновенная. Логичнее потребовать минимума энергии. Короче говоря, задача эта на вариационное исчисление, если ee правильно решать.

cupuyc · Сообщение **cupuyc** » 19 апр 2010, 06:28

Hugin, вы ведь даже не вникли в суть задачи. Да, мощность - мгновенная характеристика. Меня интересует максимальное значение этой мгновенной характеристики за всё время разгона. Затем нужно найти такую V(t), при которой это максимальное значение будет минимальных среди всего множества функций V(t).
Что касается вариационного исчисления - я затрудняюсь написать вариацию функционала. Обычно в вариационных задачах фигурируют интегральные характеристики - затраченное время, длина линии, и т.д. Тут же нужно минимизировать максимальное значение величины.

Hugin · Сообщение **Hugin** » 19 апр 2010, 12:45

cupuyc писал(а):Source of the post Hugin, вы ведь даже не вникли в суть задачи.

Совершенно точно - не вник. Сейчас вник и понял, что это ерунда какая-то.

Математически, задача которую Вы решали звучит примерно так:
Нужно найти такую функцию co значениями на концах интервала, чтобы ee максимум был минимален.
Лично я не знаю как такую задачу решать. Ho это, в общем-то полбеды.

Что касается физики, то мощность это не производная от кинетической энергии. Кроме того, у вас имеется частица, у которой заданы начальные и конечные скорости. T.e. у вас полностью поставлена краевая задача c точки зрения механики. Поэтому при наличии потенциала (к выбору которого и сводится задача) движение задано однозначно.

A откуда взялось это рассуждение:

cupuyc писал(а):Source of the post можно предположить, что в случае экстремальной функции V(t) мощность будет всегда одинаковой (можно?), т.e. максимальное значение мощности будет равно средней мощности и будет постоянно за всё время ускорения.

?

cupuyc · Сообщение **cupuyc** » 19 апр 2010, 14:42

Совершенно точно - не вник. Сейчас вник и понял, что это ерунда какая-то.

любая задача, к которой вы не знаете как подойти - ерунда? давайте без оффтопа. если такая задача возникла, то это уже не ерунда.

Что касается физики, то мощность это не производная от кинетической энергии

я это и не утверждал. тут несколько другие рассуждения. пусть система в момент времени t имеет скорость V(t). тогда энергия этой системы $$mV(t)^2/2$$

. пусть через промежуток времени $\Delta t$ скорость становится равной $V(t+\Delta t)$ , тогда мощность развиваемая внешней вынуждающей силой будет (c точностью до знака) $P = (mV(t+\Delta t)^2/2 - mV(t)^2/2)/\Delta t$ в пределе будет mVV'.

A откуда взялось это рассуждение:

тут такой ход мыслей. разность энергий - величина постоянная. Если нужно разогнать систему от V1 до V2, то в любом случае придётся затратить энергию $$mV_2^2/2-mV_1^2/2$$

. затраченная энергия это $\int_{0}^{T}{P(t)dt} = const$ . Если P будет не константой, т.e. будет иметь максимумы, то значения этих максимумов будут больше чем среднее значение мощности за всё время разгона.

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 19 апр 2010, 15:49

cupuyc, вы все правильно говорите. Только в окончательной формуле я бы выразил среднюю мощность через заданные величины: начальную и конечную скорости и время разгона. Тогда она примет замечательно симметричный вид

$$v^2(t)=v_1^2(1-t/T)+v_2^2(t/T).$$

cupuyc · Сообщение **cupuyc** » 19 апр 2010, 16:58

peregoudov, спасибо. именно через них и нужно выражать. немного смущает, что в результате скорость получилась не гладкой, хотя, наверное, так и должно быть.

Hugin · Сообщение **Hugin** » 19 апр 2010, 21:19

cupuyc писал(а):Source of the post любая задача, к которой вы не знаете как подойти - ерунда? давайте без оффтопа. если такая задача возникла, то это уже не ерунда.

Да нет, дело не в этом. Просто вы тумана много нагнали вокруг этой задачи (хотя кто-то co мной не согласится, наверное). Понимаете, я человек простой, люблю, когда всё, что уже сделано - внятно разжевано и надо подумать уже над тем, до чего автор сам не додумался. И я очень не люблю, когда мне предлагают разгадывать как автор пришел к тому или иному результату. Непродуктивно это.

cupuyc писал(а):Source of the post тут несколько другие рассуждения. пусть система в момент времени t имеет скорость V(t). тогда энергия этой системы . пусть через промежуток времени $\Delta t$ скорость становится равной $V(t+\Delta t)$ , тогда мощность развиваемая внешней вынуждающей силой будет (c точностью до знака) $P=(mV(t+\Delta t)^2/2 - m V(t)^2)/2)/\Delta t$ в пределе будет mVV'.

Результат-то верный, но рассуждения уж очень туманные. Пределы, конечные приращения... He проще ли было через интеграл c переменным верхним пределом? Впрочем это дело вкуса, конечно.

cupuyc писал(а):Source of the post тут такой ход мыслей. разность энергий - величина постоянная. Если нужно разогнать систему от V1 до V2, то в любом случае придётся затратить энергию . затраченная энергия это $\int \limits_0^T P(t) dt=const$ . Если P будет не константой, т.e. будет иметь максимумы, то значения этих максимумов будут больше чем среднее значение мощности за всё время разгона.

Вот это и есть тот туманный Альбион. Мне лично кажется, что проще было бы выразить мощность через скорость и понять, что это условие на производную от квадрата скорости. И, как хорошо известно, никаких сюрпризов он не дает (в плане максимума производной), если этот квадрат - линейная функция времени, a скорость, соответственно, корень из последнего - именно то, что у вас получилось. По крайней мере всё прозрачно - и энергия не нужна и средних мощностей никаких не надо приплетать. Вот отсюда и весь туман.

cupuyc · Сообщение **cupuyc** » 19 апр 2010, 21:30

Hugin, спасибо за совет, мы уже разобрались.

yourdomain.com