Нет. Надо так
Ряды!
Ряды!
Добрый вечер! Решила задачу, проверьте, пожалуйста.
Найти решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда
![$$y''+xy-x^2y=0$$ $$y''+xy-x^2y=0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%26%2339%3B%26%2339%3B%2Bxy-x%5E2y%3D0%24%24)
![$$y(0)=1$$ $$y(0)=1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%280%29%3D1%24%24)
![$$y'(0)=-1$$ $$y'(0)=-1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%26%2339%3B%280%29%3D-1%24%24)
Решение будем искать в виде ряда:
![$$y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac {y^{(n)}(x_0)} {n!}(x-x_0)^n=y(x_0)+y'(x-x_0)+\frac {y''(x_0)} {2!}(x-x_0)^2+...+\frac {y^{(n)}(x_0)} {n!}(x-x_0)^n$$ $$y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac {y^{(n)}(x_0)} {n!}(x-x_0)^n=y(x_0)+y'(x-x_0)+\frac {y''(x_0)} {2!}(x-x_0)^2+...+\frac {y^{(n)}(x_0)} {n!}(x-x_0)^n$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%28x%29%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%20%7By%5E%7B%28n%29%7D%28x_0%29%7D%20%7Bn%21%7D%28x-x_0%29%5En%3Dy%28x_0%29%2By%26%2339%3B%28x-x_0%29%2B%5Cfrac%20%7By%26%2339%3B%26%2339%3B%28x_0%29%7D%20%7B2%21%7D%28x-x_0%29%5E2%2B...%2B%5Cfrac%20%7By%5E%7B%28n%29%7D%28x_0%29%7D%20%7Bn%21%7D%28x-x_0%29%5En%24%24)
![$$x_0=0$$ $$x_0=0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x_0%3D0%24%24)
![$$y=y(0)+\frac {y'(0)} {1!}(x)+\frac {y''(0)} {2!}x^2+\frac {y'''(0)} {3!}x^3+...$$ $$y=y(0)+\frac {y'(0)} {1!}(x)+\frac {y''(0)} {2!}x^2+\frac {y'''(0)} {3!}x^3+...$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%3Dy%280%29%2B%5Cfrac%20%7By%26%2339%3B%280%29%7D%20%7B1%21%7D%28x%29%2B%5Cfrac%20%7By%26%2339%3B%26%2339%3B%280%29%7D%20%7B2%21%7Dx%5E2%2B%5Cfrac%20%7By%26%2339%3B%26%2339%3B%26%2339%3B%280%29%7D%20%7B3%21%7Dx%5E3%2B...%24%24)
Подставив в исходное уравнение начальные условия найдем:
![$$y''=-2$$ $$y''=-2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%26%2339%3B%26%2339%3B%3D-2%24%24)
![$$y'''(0)=(x^2y-xy)'=-xy''-y'+x^2y''+y'=0$$ $$y'''(0)=(x^2y-xy)'=-xy''-y'+x^2y''+y'=0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%26%2339%3B%26%2339%3B%26%2339%3B%280%29%3D%28x%5E2y-xy%29%26%2339%3B%3D-xy%26%2339%3B%26%2339%3B-y%26%2339%3B%2Bx%5E2y%26%2339%3B%26%2339%3B%2By%26%2339%3B%3D0%24%24)
Подставим полученные значения и получим ответ:
![$$y=1-x+...$$ $$y=1-x+...$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%3D1-x%2B...%24%24)
Верный ли это ответ, или не достаточно членов в уравнениях?
Найти решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда
Решение будем искать в виде ряда:
Подставив в исходное уравнение начальные условия найдем:
Подставим полученные значения и получим ответ:
Верный ли это ответ, или не достаточно членов в уравнениях?
Последний раз редактировалось Marik 29 ноя 2019, 18:40, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Ряды!
B целом выкладки верные, но вычисления...Marik писал(а):Source of the post
Добрый вечер! Решила задачу, проверьте, пожалуйста.
Найти решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда
Решение будем искать в виде ряда:
Подставив в исходное уравнение начальные условия найдем:
Подставим полученные значения и получим ответ:
Верный ли это ответ, или не достаточно членов в уравнениях?
Ответа как такового просто нет - присутствуют исходные значения
1. Обычно в условиях прямо указано, сколько членов ряда надо найти. Как правило, 3 или 4.
2.
3.
Тогда, eсли достаточно 3-х членов ряда
Последний раз редактировалось СергейП 29 ноя 2019, 18:40, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Ряды!
Верно.Marik писал(а):Source of the post A eсли еще четвертую производную посчитать, то должно так получиться?
Тогда
Последний раз редактировалось СергейП 29 ноя 2019, 18:40, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Вернуться в «Математический анализ»
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 0 гостей