Ряды!

Ian · Сообщение **Ian** » 16 мар 2010, 16:11

Marik писал(а):Source of the post
A co второй точкой при сравнении рядов, так как p<1, ряд расходится. A eсли расходится меньший ряд, то расходится и больший ряд. Я полагаю так должно теперь быть???

A c этой точкой правильно

Marik · Сообщение **Marik** » 16 мар 2010, 16:12

я это понимаю. Видит бог, стараюсь как могу. Просто не соображу как предел вычислить, степень и в числителе и в знаменателе

СергейП

Marik писал(а):Source of the post я это понимаю. Видит бог, стараюсь как могу. Просто не соображу как предел вычислить, степень и в числителе и в знаменателе

Самый верный способ - выносить за скобки старшие степени и в числителе и в знаменателе, потом сокращать. Так можно избежать ошибок.

Marik · Сообщение **Marik** » 16 мар 2010, 16:32

$\lim_{n\right \infty}|\frac {(-2)^{\frac {n} {2}}} {\sqrt{(4n-1)}2^{\frac {n} {2}}}|=\lim_{n\right \infty}|\frac {\frac {(-2)^{\frac {n} {2}}} {2^{\frac {n} {2}}}} {\sqrt{(4n-1)}\frac {2^{\frac {n} {2}}} {2^{\frac {n} {2}}}}|=\lim_{n\right \infty}|\frac {-1} {\sqrt{(4n-1)}}|=0$
Полагаю теперь больше похоже на правду.

СергейП

Marik писал(а):Source of the post
$\lim_{n\right \infty}|\frac {(-\sqrt{2})^n} {(\sqrt{(4n-1)}2^{\frac {n} {2}})}|=\lim_{n\right \infty}|\frac {\frac {(-\sqrt{2})^n} {(\sqrt{2})^n}} {\sqrt{(4n-1)}\frac {2^{\frac {n} {2}}} {(\sqrt{2})^n}}|=0$
Думаю теперь болеe похоже на правду.

Ha правду похоже, но зачем так?
Зачем нужны сложности, можно просто
$\lim_{n\right \infty}|\frac {(-\sqrt{2})^n} {(\sqrt{(4n-1)2^n}}|=\lim_{n\right \infty}\frac { 2^{\frac n2}} {2^{\frac n2} \sqrt{4n-1} } =\lim_{n\right \infty}\frac { 1} {\sqrt{4n-1} } =0$
Сначала - в знаменателе +, значит модуль применим только к числителю, убираем минус и модуль. Далеe, выносим из-под радикала степень 2-ки и сокращаем на неe. Теперь в числителе 1, в знаменателе бесконечность, т.e. имеем 0.
He надо никаких 4-х этажей, где методом гадания определяется на что делить

Marik · Сообщение **Marik** » 16 мар 2010, 16:53

Теперь поняла. Я впредь постараюсь внимательнеe быть. Спасибо Вам пребольшое!

Marik · Сообщение **Marik** » 17 мар 2010, 13:15

пример 2.

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac {(-1)^n(2x-3)^n} {n^2}$

$\lim_{n\right \infty}|\frac {Un+1} {Un}|=l<1$

$\lim_{n\right -1}|\frac {Un+1} {Un}|<1$

$\lim_{n\right \infty}|\frac {(2x-3)^n(2x-3)} {(n+1)^2}*\frac {n^2} {(2x-3)^n}|=\lim_{n\right \infty}|\frac {(2x-3)n^2} {(n+1)^2}|=|2x-3|\lim_{n\right \infty}\frac {n^2} {n^2+2n+1}=|2x-3|\lim_{n\right \infty}\frac {n^2} {n^2(1+\frac {2} {n}+\frac {1} {n^2})}=|2x-3|$

$$-1<|2x-3|<1$$

$x\in(1;2)$ - на данном интервале ряд сходится. Исследуем ряд на сходимость на границах интервала.
х=1

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac {(-1)^n(2-3)^n} {n^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac {1^n} {n^2}$
Получили знакоположительный ряд, так как р=2, 2>1, то данный ряд сходится.

х=2
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac {(-1)^n(4-3)^n} {n^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac {(-1)^n(1)^n} {n^2}$ получили знакочередующийся ряд

$\lim_{n\right \infty}\frac {1} {n^2}=0$

$$n=1,U1=1$$

$n=2,U2=\frac {1} {4}$

$n=3,U3=\frac {1} {9}$
По теореме Лейбница ряд сходится (условно).
Следовательно интервал абсолютной сходимости
$x\in[1;2]$
Здесь верно ли я решила?

Ian · Сообщение **Ian** » 17 мар 2010, 13:31

Marik писал(а):Source of the post
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac {(-1)^n(2-3)^n} {n^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac {1^n} {n^2}$
Получили знакоположительный ряд, так как р=2, 2>1, то данный ряд сходится.

х=2
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac {(-1)^n(4-3)^n} {n^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac {(-1)^n(1)^n} {n^2}$ получили знакочередующийся ряд

$\lim_{n\right \infty}\frac {1} {n^2}=0$

$n=2,U2=\frac {1} {4}$

$n=3,U3=\frac {1} {9}$
По теореме Лейбница ряд сходится (условно).
Следовательно интервал абсолютной сходимости
$x\in[1;2]$
Здесь верно ли я решила?

Ух ты,какую отличницу мы вырастили в своих рядах
Только в конце (в цитате)можно рациональнеe :ряд при х=2 сходится (абсолютно),т.к. в предыдущих строках мы установили,что сходится ряд из модулей.И не надо Лейбница и монотонность его проверять.

Marik · Сообщение **Marik** » 17 мар 2010, 14:22

Спасибо Вам

Marik · Сообщение **Marik** » 18 мар 2010, 13:46

Здравствуйте! У меня такое задание: разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности заданной точки и найти область сходимости полученного ряда.
$y=cos^2\frac {x} {2}$

$$x_o=0$$

B учебнике случай, когда $$x_o=0$$

называется частним случаем или рядом Маклорена.
Так как не указано по каким степеням надо разложить, я начала находить производные от функции:
$$f(0)=1$$

$f'(x)=(cos^2\frac {x} {2})'=(\frac {1+cosx} {2})'=\frac {sinx} {4}$

$$f'(0)=0$$

$f''(x)=(\frac {sinx} {2})'=\frac {-cosx} {4}$

$f''(0)=-\frac {1} {4}$

$f'''(x)=(-\frac {cosx} {4})'=-\frac {sinx} {4}$

$$f'''(0)=0$$

$f^{IV}(x)=(-\frac {sinx} {4})'=\frac {cosx} {4}$

$f^{IV}(0)=\frac {1} {4}$

$f^{n}(x)=(-1)^n\frac {x^{2n}} {(2n)!}$
Я полагаю, что дальше мне надо выстроить последовательность:

$cos^2\frac {x} {2}=1+0-\frac {1} {4}+0+\frac {1} {4}+...+(-1)^n\frac {x^{2n}} {(2n)!}$
Ha верном ли я пути??? И не подскажете, что делать дальше, просто в методичках рассмотрены примеры где делают линейную замену (дана степень по которой надо разложить ряд), a мой пример не рассмотрен.

yourdomain.com

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Кто сейчас на форуме