Ряды!

Marik · Сообщение **Marik** » 15 мар 2010, 13:16

Значит будет так тогда:

$\lim_{n\right \infty}{\frac {2n+1} {n^2(n+1)}:\frac {1} {n^2}}=\lim_{n\right \infty}\frac {2n+1} {n+1}=\lim_{n\right \infty}\frac {n(2+\frac {1} {n})} {n(1+\frac {1} {n})}=2$

Так как гармонический ряд расходится, то расходится и данный ряд, следовательно знакочередующийся ряд сходится условно.

СергейП

Marik писал(а):Source of the post Значит будет так тогда:

$\lim_{n\right \infty}{\frac {2n+1} {n^2(n+1)}:\frac {1} {n^2}}=\lim_{n\right \infty}\frac {2n+1} {n+1}=\lim_{n\right \infty}\frac {n(2+\frac {1} {n})} {n(1+\frac {1} {n})}=2$

Так как гармонический ряд расходится, то расходится и данный ряд, следовательно знакочередующийся ряд сходится условно.

Нет, это обобщенный гармонический ряд $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {1} {n^2}$ , т.к. $$2>1$$

(степени), то он сходится, тогда исходный ряд сходится абсолютно.

Marik · Сообщение **Marik** » 15 мар 2010, 14:31

Спасибо!
Вот второй пример:
$\sum_{n=2}^{\infty}{\frac {(-1)^nln^2(n+1)} {n+1}}$

$\lim_{n\right \infty}{\frac {ln^2(n+1)} {n+1}}=\lim_{n\right \infty}({\frac {ln^2(n+1)} {n+1})'=\lim_{n\right \infty}\frac {2ln(n+1)} {(n+1)^2}=\lim_{n\right \infty}(\frac {2ln(n+1)} {(n+1)^2})'=\lim_{n\right \infty}\frac {\frac {2} {n+1}} {2n+2}=0$

$n=1,Un_1=\frac {ln^22} {2}$

$n=2,Un_1=\frac {ln^23} {3}$

$n=3,Un_1=\frac {ln^24} {4}$
Теперь по интегральному признаку Коши исследуем ряд на сходимость:
$\int_{2}^{\infty}\frac {ln^2(x+1)} {x+1}dx=\lim_{b\right \infty}\int_{2}^{b}ln^2(x+1)d(ln(x+1))=\lim_{b\right \infty}(\frac {ln^3(b+1)} {3}-\frac {ln^3(3)} {3})=\infty-\frac {ln^3(3)} {3}=\infty$
Интеграл расходится, следовательно ряд расходится. Знакочередующийся ряд сходится условно.
Верно ли я данный пример решила?

СергейП

Ответ верен, c интегралом всe в порядке, но вот предел ...
$\lim_{n\right \infty}{\frac {ln^2(n+1)} {n+1}}=\lim_{n\right \infty}\frac {(ln^2(n+1))'} {(n+1)'} = \lim_{n\right \infty} \frac {2ln(n+1)} {n+1}=\lim_{n\right \infty} \frac {(2ln(n+1))'} {(n+1)'} = \lim_{n\right \infty} \frac {2} {n+1}=0$

Далеe, ряд c n=2 начинается, т.e. $$Un_1$$

в нем нет

Marik · Сообщение **Marik** » 16 мар 2010, 12:17

Спасибо)))
Приступила к следующему заданию.
Требуется найти область сходимости рядов;исследовать сходимость рядов на границе области сходимости.
1)

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {3^nx^n} {\sqrt{(4n-1)2^n}}}$

$\lim_{n\right \infty}|\frac {Un+1} {Un}|=l<1$

$\lim_{n\right -1}|\frac {Un+1} {Un}|<1$

$\lim_{x\right \infty}\frac {3^n3x^nx} {\sqrt{{(4n+3)2^n2}}}*\frac {\sqrt{(4n-1)2^n}} {3^nx^n} =\lim_{x\right \infty}\frac {3x(\sqrt{4n-1})} {\sqrt{(4n+3)2}}=|3x|\lim_{n\right \infty}\frac {(\sqrt{4n-1})} {\sqrt{(4n+3)2}}=|3x|\lim_{n\right \infty}\frac {\sqrt{\frac {4n} {n}-\frac {1} {n}}} {\sqrt{({\frac{4n} {n}+\frac {3} {n})\frac {2} {n}}}}=3x$

$$|3x|<1$$

$-\frac {1} 3{}<x<\frac {1} {3}$

при $x\in(-\frac {1} {3};\frac {1} {3})$ - ряд сходится.
Теперь исследуем ряд на сходимость на границах области.
при

$x=-\frac {1} {3}$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac {3^n(-\frac {1} {3})^n} {\sqrt{(4n-1)2^n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac {(-1)^n} {\sqrt{(4n-1)2^n}}$

$\lim_{n\right \infty}\frac {1} {\sqrt{(4n-1)2^n}}={ \frac {1} {\infty} }=0$

$n=1,U_1=\frac {1} {\sqrt{6}}$

$n=2,U_2=\frac {1} {\sqrt{28}}$

$n=3,U_3=\frac {1} {\sqrt{88}}$

$f'(x)=\frac {-2\sqrt{(4x-1)2^x}} {(\sqrt{(4x-1)2^x})^2}=-\frac {2} {\sqrt{(4x-1)2^x}}$

$$f'(x)=0$$

$-2\ne0$

$(4x-1)2^x\ne0$

$x=\frac {1} {4}$

$-\frac {2} {\sqrt{(4x-1)2^x}}<0$
f(x) - убывает, последовательность убывающая.
При
$x=\frac {1} {3}$ Вычисления будут аналогичными, значит ряд сходится абсолютно. ( У меня вопрос: Данный случай похож на теорему Абеля. Можно воспользоваться данной теоремой, или я ошибаюсь???) Верно ли я привела вычисления?

Ian · Сообщение **Ian** » 16 мар 2010, 14:24

Ошибка,другой радиус
$=|3x|\lim_{n\right \infty}\frac {(\sqrt{4n-1})} {\sqrt{(4n+3)2}}=|3x|\lim_{n\right \infty}\frac {\sqrt{\frac {4n} {n}-\frac {1} {n}}} {\sqrt{({\frac{4n} {n}+\frac {3} {n})*2}}}=3|x|/\sqrt 2$
Ну и дальше всe по-другому

Marik · Сообщение **Marik** » 16 мар 2010, 14:51

$-1<\frac {3x} {\sqrt{2}}<1$

$-\frac {\sqrt{2}} {3}<x<\frac {\sqrt{2}} {3}$

$x\in(-\frac {\sqrt{2}} {3};\frac {\sqrt{2}} {3})$

$x=-\frac {\sqrt{2}} {3}$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac {(-\sqrt{2})^n} {\sqrt{(4n-1)2^n}}$

$\lim_{n\right \infty}{f(x)}\frac {(-\sqrt{2})^n} {\sqrt{(4n-1)2^n}}=\infty$

$x=\frac {\sqrt{2}} {3}$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac {(\sqrt{2})^n} {\sqrt{(4n-1)2^n}}$

$\lim_{n\right \infty}{f(x)}\frac {(\sqrt{2})^n} {\sqrt{(4n-1)2^n}}=\infty$
Ha границах ряд расходится.
Следовательно ряд абсолютно сходится на интервале
$x\in(-\frac {\sqrt{2}} {3};\frac {\sqrt{2}} {3})$
Теперь верно?

Ian · Сообщение **Ian** » 16 мар 2010, 15:39

до сих пор было правильно

Marik писал(а):Source of the post

$x=-\frac {\sqrt{2}} {3}$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac {(-\sqrt{2})^n} {\sqrt{(4n-1)2^n}}$

Вот бы здесь по признаку Лейбница

$\lim_{n\right \infty}{f(x)}\frac {(-\sqrt{2})^n} {\sqrt{(4n-1)2^n}}=\infty$

A что за f(x).

$x=\frac {\sqrt{2}} {3}$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac {(\sqrt{2})^n} {\sqrt{(4n-1)2^n}}$

$\lim_{n\right \infty}{f(x)}\frac {(\sqrt{2})^n} {\sqrt{(4n-1)2^n}}=\infty$

Здесь бы сравнить c рядом $\frac 1{2\sqrt n}$ ,что при каждом n наш ряд больше него

Marik · Сообщение **Marik** » 16 мар 2010, 15:55

$\lim_{n\right \infty}\frac {(-\sqrt{2})^n} {\sqrt{(4n-1)2^n}}=\infty$
Так как не выполняется первое условие теоремы Лейбница, то ряд расходится (предел не получится вычислить по правилу Лопиталя)

A co второй точкой при сравнении рядов, так как p<1, ряд расходится. A eсли расходится меньший ряд, то расходится и больший ряд. Я полагаю так должно теперь быть???

СергейП

Marik писал(а):Source of the post $\lim_{n\right \infty}\frac {(-\sqrt{2})^n} {\sqrt{(4n-1)2^n}}=\infty$
Так как не выполняется первое условие теоремы Лейбница, то ряд расходится (предел не получится вычислить по правилу Лопиталя)

C пределами у Bac большая беда, oсобенно по сравнению c интегралами.
1. необходимо брать по модулю
2. первое условие теоремы Лейбница выполняется
3. ряд сходится (условно)

yourdomain.com

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Кто сейчас на форуме