yourdomain.com

Краткое описание форума
http://e-science11.ru/test_forum/

Функция из Q в Z

http://e-science11.ru/test_forum/viewtopic.php?f=9&t=94741

Страница 1 из 1

Функция из Q в Z

Добавлено: 18 ноя 2012, 12:42
Xenia1996
Во всех рациональных точках вещественной прямой расставлены целые числа. Доказать, что найдётся отрезок, сумма чисел на концах которого не превосходит удвоенного числа в его середине.

Точное решение мне сформулировать не удалось, но сделала набросок (помещаю в спойлер):

По условию, в точке $$ 0 $$ стоит некоторое целое число $$ n $$, иными словами $$ f(0)=n $$.
1. Из двух чисел $$ f(1) $$ и $$ f(-1) $$, хотя бы одно должно превышать $$ n $$ хотя бы на единичку (в противном случае задача решена).
2. Из двух чисел $$ f(\frac{1}{2}) $$ и $$ f(-\frac{1}{2}) $$, хотя бы одно должно превышать $$ n $$ хотя бы на единичку (в противном случае задача решена). Если $$ f(\frac{1}{2})\ge n+1 $$, то из двух чисел $$ f(0) $$ и $$ f(1) $$, хотя бы одно должно превышать $$ f(\frac{1}{2}) $$, хотя бы на единичку. Но этим числом не может быть $$ f(0) $$, поскольку оно равно $$ n $$. Следовательно, $$ f(1)\ge f(\frac{1}{2})+1\ge n+2 $$. Аналогично, если $$ f(-\frac{1}{2})\ge n+1 $$, то $$ f(-1)\ge f(-\frac{1}{2})+1\ge n+2 $$.
Таким образом, из двух чисел $$ f(1) $$ и $$ f(-1) $$, хотя бы одно должно превышать $$ n $$ хотя бы на 2.
3. Из двух чисел $$ f(\frac{1}{3}) $$ и $$ f(-\frac{1}{3}) $$, хотя бы одно должно превышать $$ n $$ хотя бы на единичку (в противном случае задача решена). Если $$ f(\frac{1}{3})\ge n+1 $$, то из двух чисел $$ f(0) $$ и $$ f(\frac{2}{3}) $$, хотя бы одно должно превышать $$ f(\frac{1}{3}) $$, хотя бы на единичку. Но этим числом не может быть $$ f(0) $$, поскольку оно равно $$ n $$. Следовательно, $$ f(\frac{2}{3})\ge f(\frac{1}{3})+1\ge n+2 $$. По той же причине $$ f(1)\ge f(\frac{2}{3})+1\ge f(\frac{1}{3})+2\ge n+3 $$. Аналогично, если $$ f(-\frac{1}{3})\ge n+1 $$, то $$ f(-\frac{2}{3})\ge f(-\frac{1}{3})+1\ge n+2 $$, а также $$ f(-1)\ge f(-\frac{2}{3})+1\ge f(-\frac{1}{3})+2\ge n+3 $$.
Таким образом, из двух чисел $$ f(1) $$ и $$ f(-1) $$, хотя бы одно должно превышать $$ n $$ хотя бы на 3.

Аналогичные рассуждения приводят нас к выводу, что для любого натурального $$ k $$ из двух чисел $$ f(1) $$ и $$ f(-1) $$, хотя бы одно должно превышать $$ n $$ хотя бы на $$ k $$. Но поскольку $$ f(1) $$ и $$ f(-1) $$ являются лишь конечными числами, рано или поздно мы придём к противоречию, доказывающему то, что требуется в задаче.


Верны ли мои рассуждения?

Функция из Q в Z

Добавлено: 18 ноя 2012, 14:37
BSK
Вычислим функцию на сетке с шагом $$ h$$. Предположим, что целые числа $$ d_i=f_{i+1}-f_{i} $$ строго возрастают. Тогда повторим вычисления на в два раза более мелкой сетке и т.д. Т.к. между двумя целыми числами конечное число целых чисел, на каком-то шаге обязательно получим невозрастание.

Функция из Q в Z

Добавлено: 18 ноя 2012, 14:46
Xenia1996
BSK писал(а):Source of the post
Вычислим функцию на сетке с шагом $$ h$$. Предположим, что целые числа $$ d_i=f_{i+1}-f_{i} $$ строго возрастают. Тогда повторим вычисления на в два раза более мелкой сетке и т.д. Т.к. между двумя целыми числами конечное число целых чисел, на каком-то шаге обязательно получим невозрастание.

Спасибо!
А мои рассуждения ошибочны или просто слишком объёмны?

Функция из Q в Z

Добавлено: 18 ноя 2012, 14:56
BSK
Xenia1996 писал(а):Source of the post А мои рассуждения ошибочны или просто слишком объёмны?
Та же самая идея. Функция хотела прогнуться вниз на любой сетке, но не смогла, т.к. принимает только целые значения.
Часовой пояс: UTC UTC
Страница 1 из 1
Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Limited
https://www.phpbb.com/