Студенческая олимпиада НГУ по математике
Добавлено: 23 окт 2011, 08:54
1. Некоторый многочлен степени
с целыми коэффициентами принимает значения
в
различных точках. Можно ли его разложить в произведение
многочленов меньших степеней с целыми коэффициентами?
2. Среди 29 разложенных в ряд монет имеется 3 фальшивые, причём известно, что они лежат подряд. Настоящие монеты имеют стандартный вес, а фальшивые какой попало, но легче настоящей. За три взвешивания на рычажных весах выявить все три фальшивые монеты.
3. Найти все действительные решения уравнения![$$x\sqrt {y - 1} + y\sqrt {x - 1} = xy$$ $$x\sqrt {y - 1} + y\sqrt {x - 1} = xy$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%5Csqrt%20%7By%20-%201%7D%20%2B%20y%5Csqrt%20%7Bx%20-%201%7D%20%3D%20xy%24%24)
4. В четырёхугольнике
углы
и
прямые, а длины сторон
и
равны. На прямых
и
выбраны соответственно точки
и
так, что
. Докажите, что
.
5. Найти все действительные решения системы уравнений![$$\displaystyle \left\{\begin{matrix}x^4 + y^4 + z^4 = 2\\ x^5 + y^5 +z^5 = 2\\ x^6 + y^6 + z^6 =2\end{matrix}\right.$$ $$\displaystyle \left\{\begin{matrix}x^4 + y^4 + z^4 = 2\\ x^5 + y^5 +z^5 = 2\\ x^6 + y^6 + z^6 =2\end{matrix}\right.$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cdisplaystyle%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%5E4%20%2B%20y%5E4%20%2B%20z%5E4%20%3D%202%5C%5C%20x%5E5%20%2B%20y%5E5%20%2Bz%5E5%20%3D%202%5C%5C%20x%5E6%20%2B%20y%5E6%20%2B%20z%5E6%20%3D2%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%24%24)
3' Вычислить предел![$$\lim\limits_{x\to 1}\int\limits_x^{x^2}\frac{dt}{\ln t}.$$ $$\lim\limits_{x\to 1}\int\limits_x^{x^2}\frac{dt}{\ln t}.$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto%201%7D%5Cint%5Climits_x%5E%7Bx%5E2%7D%5Cfrac%7Bdt%7D%7B%5Cln%20t%7D.%24%24)
4'. Существует ли такая биекция
, при которой сходится ряд
?
5'. Векторное умножение на фиксированный вектор
задаёт в трёхмерном вещественном пространстве линейное преобразование
,
переводящее любой вектор
в ему ортогональный. Доказать обратное утверждение: любое линейное преобразование
, переводящее всякий вектор
в ему ортогональный, представимо в виде
для подходящего вектора
.
Для 1-го курса задачи 1-5, для 2-4 курсов 1,2, 3'-5'.
многочленов меньших степеней с целыми коэффициентами?
2. Среди 29 разложенных в ряд монет имеется 3 фальшивые, причём известно, что они лежат подряд. Настоящие монеты имеют стандартный вес, а фальшивые какой попало, но легче настоящей. За три взвешивания на рычажных весах выявить все три фальшивые монеты.
3. Найти все действительные решения уравнения
4. В четырёхугольнике
5. Найти все действительные решения системы уравнений
3' Вычислить предел
4'. Существует ли такая биекция
5'. Векторное умножение на фиксированный вектор
переводящее любой вектор
в ему ортогональный, представимо в виде
Для 1-го курса задачи 1-5, для 2-4 курсов 1,2, 3'-5'.
i | Upd. В задаче 1 по недосмотру было пропущено условие, что эти 2011 точек целые. Можно рассмотреть оба случая - с этим условием и без него. Это будут разные задачи. |