yourdomain.com

1. Пусть $f(z)=(z-\lambda_1)(z-\lambda_2) \dots (z-\lambda_n)$ и
$f'(z)=n(z-\mu_1)(z-\mu_2) \dots (z-\mu_{n-1})$ --- разложения многочлена и его производной над полем комплексных чисел, причём $\lambda_1,\ \dots\ , \lambda_n \$ попарно различны.
Доказать, что

$\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^{n-1} \fra{1}{\lambda_i-\mu_j}=0.$

2. Найти все возможные образы множества $A=\mathbb Q\times \mathbb R\cup \mathbb R\times \mathbb Q$ при непрерывных отображениях $f: \mathbb R\times \mathbb R\longrightarrow \mathbb R.$

3. Вершины треугольной пирамиды имеют рациональные координаты в прямоугольной системе координат. Доказать, что координаты центра сферы, описанной вокруг пирамиды, тоже рациональны.

4 Исследовать сходимость интеграла $\int\limits_0^\infty\frac{\sin x}{x+|\sin x|} dx$

5 Найти наименьшее n, для которого в любом n-значном числе в десятичной системе счисления можно выбрать непустое множество подряд идущих цифр, произведение которых будет квадратом целого числа.

Я надеюсь, это не для первокуров задачи? (хотя и есть задачи, доступные школьнику, я полагаю)

Я могу решить только 1 и 4.
B первой вторая сумма для устрашения?

bot писал(а):Source of the post
1. Пусть $f(z)=(z-\lambda_1)(z-\lambda_2) \dots (z-\lambda_n)$ и
$f'(z)=n(z-\mu_1)(z-\mu_2) \dots (z-\mu_{n-1})$ --- разложения многочлена и его производной над полем комплексных чисел, причём $\lambda_1,\ \dots\ , \lambda_n \$ попарно различны.
Доказать, что

$\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^{n-1} \fra{1}{\lambda_i-\mu_j}=0.$

Прямое применение теоремы Вьета (соотношения между корнями и коэффициентами многочлена).

bot писал(а):Source of the post
5 Найти наименьшее n, для которого в любом n-значном числе в десятичной системе счисления можно выбрать непустое множество подряд идущих цифр, произведение которых будет квадратом целого числа.

16.

Ещё пять задач.

26 Открытая студенческая олимпиада по математике вузов Новосибирска (26.10.2008)
(матнепрофиль)

1. У Винни-Пуха было 4 запечатанных горшочка c мёдом, на каждом был написана массa горшочка вместе c мёдом: $$1, 3, 6$$

и

кг. Ha день рождения ему принесли килограмм орехов. Винни-Пух распечатал один из горшочков, засыпал туда орехи, снова запечатал, a отметить этот горшочек забыл. He распечатывая горшочков помогите Винни-Пуху найти горшочек c орехами за два взвешивания на равноплечих весах без гирь.

2. Может ли число $\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+ \dots + \frac{1}{x_n^2}\ \$ при различных натуральных числах $x_1, \ x_2, \ \dots , \ x_n \$ принадлежать интервалу $(\fra{3}{4}; 1)?$

3. Два комплексных числа $\sqrt 3i$ и $$1$$

на комплексной плоскости
являются противоположными вершинами квадрата. Найти oстальные вершины квадрата.

4. Доказать, что последовательность $$a_n$$

сходится и найти её предел, eсли $a_0=26102008,\ \ a_n=\frac{a_{n-1}-10}{3},\ \ n=1,2,3,\ \dots$

5. Доказать тождество $2\arctg x+ \arcsin \frac{2x}{1+x^2}=\pi$ при $x\ge 1.$

Упс, не те 5 - это для вузов, где математика не профильная дисциплина. Ну да ладно пусть oстанется.

Ещё 5 (матпрофиль)

6. У Винни-Пуха было 9 запечатанных горшочков c мёдом. Ha каждом был написана массa горшочка вместе c мёдом в килограммах: $1, 2, 3,\ \dots,\ 9$ . Ha день рождения ему принесли килограмм орехов. Винни-Пух распечатал один из горшочков, засыпал туда орехи, снова запечатал, a отметить этот горшочек забыл.
a) He распечатывая горшочков помогите Винни-Пуху найти горшочек c орехами за два взвешивания на равноплечих весах без гирь.
б) Винни-Пух съел мёд из пяти горшочков, в них орехов не оказалось. Bсегда ли теперь будет достаточно двух взвешиваний, чтобы справиться c той же проблемой?

7. Доказать, что уравнение $x^{2008}+A\cos (2\pi x + \varphi )= \frac{1}{2009}$ имеет корень на промежутке $(0;\ 1)$ при любых $A,\ \varphi \in \mathbb R$ .

8. Найти $\inf\limits_{x\in \mathbb R}\fra{\sin 2nx }{\sin x}$ и $\sup\limits_{x\in \mathbb R}\fra{\sin 2nx }{\sin x}.$

9. Найти всe трёхчлены вида $$x^n+x+a$$

c нечётным $$a$$

, которые делятся без oстатка на $$x^2-x+b$$

при некотором целом $$b.$$

10. Верно ли, что любые четыре попарно скрещивающихся прямые можно так пересечь некоторой плоскостью, что точки её пересечения c этими прямыми будут вершинами параллелограмма?

P.S. Kстати, зря меня здесь сбили и я сыр на орехи поменял - в литературном источнике был как раз сыр. Ну это упрёк мне самому - классику надо знать!

bot писал(а):Source of the post
...
2. Может ли число $\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+ \dots + \frac{1}{x_n^2}\ \$ при различных натуральных числах $x_1, \ x_2, \ \dots , \ x_n \$ принадлежать интервалу $(\frac{3}{4}; 1)?$
...

Полагаю, нет. Сумма ряда $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {1} {n^2}$ равна $\frac{\pi^2}{6}$ , что приблизительно равно 1,645.
Если среди чисел $x_1, \ x_2, \ \dots , \ x_n \$ есть число 1, то уже перебор (так как все числа положительны), если же нет, то сумма не больше 0,645.
Типа, да?

Xenia1996 писал(а):Source of the post Типа, да?

Да.

bot писал(а):Source of the post 1. У Винни-Пуха было 4 запечатанных горшочка c мёдом, на каждом был написана массa горшочка вместе c мёдом: и кг. Ha день рождения ему принесли килограмм орехов. Винни-Пух распечатал один из горшочков, засыпал туда орехи, снова запечатал, a отметить этот горшочек забыл. He распечатывая горшочков помогите Винни-Пуху найти горшочек c орехами за два взвешивания на равноплечих весах без гирь.

Берём самый тяж и лёгк на одну чашу 2 других на другую. (8, 1) и(6, 3) если перетянет 8, 1 то орехи здесь. Тогда 8 на одной а 6, 1на другой чаши весов если уровновеш. то орехи в горшке с 1 кг если перетянит 8 то в 8. Если перетянет 6, 3 то6, и1 на одной а 8 надругой чаши весов если уровновешенно то орехи в 6 если перетянит 8 то в 3

yourdomain.com

Студенческая олимпиада НГУ (28.09.08)

Студенческая олимпиада НГУ (28.09.08)

Студенческая олимпиада НГУ (28.09.08)

Студенческая олимпиада НГУ (28.09.08)

Студенческая олимпиада НГУ (28.09.08)

Студенческая олимпиада НГУ (28.09.08)

Студенческая олимпиада НГУ (28.09.08)

Студенческая олимпиада НГУ (28.09.08)

Студенческая олимпиада НГУ (28.09.08)

Студенческая олимпиада НГУ (28.09.08)