yourdomain.com

Вспомнил не сложную, но достаточно красивую задачку:
Дана функция $$f(x)=x^2+12x+30 $$

,
решить уравнение: $$f(f(f(f(f(x)))))=0 $$

.

Вашему вниманию предлагается еще одна интересная задачка c хитроумным решением:
Сумма целых чисел $$x, y, z, t$$

равна нулю. Докажите, что число
${x^4+y^4+z^4 +t^4 \over 2}+2xyzt$ является квадратом целого числа.

Krrechet писал(а):Source of the post
Вспомнил не сложную, но достаточно красивую задачку:
Дана функция ,
решить уравнение: .

Хм.. при решении задачи "в лоб" у меня получилось $x=-6\pm\sqrt[32]6$
Неправильно наверное

Krrechet писал(а):Source of the post
Вспомнил не сложную, но достаточно красивую задачку:
Дана функция ,
решить уравнение: .

Пусть

решение уравнения $$x^2+12x+30=0$$

тогда

можно заменить на $$f(f(f(f(x))))=x_1 $$

Далее решаем уравнение $$x^2+12x+30=x_1$$

и так далее решаем $$2^5$$

квадратных уравнения и будет нам счастье

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
Krrechet писал(а):Source of the post
Вспомнил не сложную, но достаточно красивую задачку:
Дана функция ,
решить уравнение: .

Хм.. при решении задачи "в лоб" у меня получилось $x=-6\pm\sqrt[32]6$
Неправильно наверное

Ответ верный, хотелось бы, чтобы вы догадались до простого и красивого решения....

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post Неправильно наверное

Пральна.

Отсюда всё очевидно.

bot писал(а):Source of the post
Пральна.

Отсюда всё очевидно.

И правда.. как же это я не заметил...

Действительно:
$$f(x)=x^2+12x+30=(x+6)^2-6$$

,
Отсюдо не сложно получить, что
$$f(f(x))=((x+6)^2)^2-6=(x+6)^4-6$$

,
a также $f(f(f(f(f(x)))))=(x+6)^{32}-6$ .
Отсюдаа и получаем ответ: $x=-6 \pm \sqrt[32]{6}$

$\frac{x^4+y^4+z^4+t^4}{2}+2xyzt$

$x+y+z+t=0\\x+y=-(z+t)\\(x+y)^2=(z+t)^2=a$

$x^4+y^4+z^4+t^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+(z^2+t^2)^2-2z^2t^2=((x+y)^2-2xy)^2-2x^2y^2+((z+t)^2-2zt)^2-2z^2t^2=\\=(a-2xy)^2-2x^2y^2+(a-2zt)^2-2z^2t^2=a^2-4axy+4x^2y^2-2x^2y^2+a^2-4azt+4z^2t^2-2z^2t^2=\\=2a^2-4a(xy+zt)+2(x^2y^2+z^2t^2)$

$\frac{x^4+y^4+z^4+t^4}{2}+2xyzt=a^2-2a(xy+zt)+(x^2y^2+z^2t^2+2xyzt)=a^2-2a(xy+zt)+(xy+zt)^2=(a-(xy+zt))^2$

вуаля...давно так не радовался решая задачки))))

Pavlukhin, молодец, вроде все правильно (во всяком случае я ошибки не вижу): +1

Хотелось бы еще какие-нибудь способы решения увидеть, прежде чем я выложу авторкое решение...

PS: что-то какой-то слабоватый энтузиазм по данной теме... почему ни кто не пишет co своей стороны интересные задачи? И элита форума что-то молчит (Natrix, AV_77 ... )

yourdomain.com

Интересные олимпиадные задачи

Интересные олимпиадные задачи

Интересные олимпиадные задачи

Интересные олимпиадные задачи

Интересные олимпиадные задачи

Интересные олимпиадные задачи

Интересные олимпиадные задачи

Интересные олимпиадные задачи

Интересные олимпиадные задачи

Интересные олимпиадные задачи

Интересные олимпиадные задачи