Страница 4 из 7
Задачи для команды 1
Добавлено: 07 июл 2007, 21:32
Angerran
Здесь
![$$a>0$$ $$a>0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24a%3E0%24%24)
, больше не вижу где ляпы.
B общем это я мысль кинул в народ может кто-нить че-нить придумает. Ведь в этом случае остался вариант A>B>=C.
A у нас еще один случай, когда к примеру A,B>0 a C<0. Там тоже не очень получается. Кстати там в случае если коэффициенты по модулю равны то вылазит еще один ответ достаточно просто, если не ошибся нигде
![$$x=11a^2$$ $$x=11a^2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%3D11a%5E2%24%24)
Задачи для команды 1
Добавлено: 07 июл 2007, 22:08
andrej163
Ага, потом глянем, все оставшееся случаи. Странно, я понимаю что задача не вида:
сколько будет 2+2
и что надо тупо сказать 4, но мне кажется, что всё не так трудно, и уж слишком много казусных моментов. Что-то есть проще, но что........... ?
Задачи для команды 1
Добавлено: 07 июл 2007, 23:17
Angerran
Angerran писал(а):Source of the post ! Если все коэффициенты равны нулю то Х не равен нулю как вы написали - Х в данном случае ЛЮБОЕ число т.к мы в любом случае получим тождество 0=0 !
Еще ляп у себя нашел. Если все коэффициенты равны нулю, то Х не просто любое , a любое НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЕ число.
Задачи для команды 1
Добавлено: 08 июл 2007, 10:40
Pavlovsky
Что то первая задача застопорилась. Может покопать в другом направлении. Пусть a,b,c координаты некоторой точки в 3D пространстве, a x некоторая константа. Что за фигура у нас получится?
[url=http://e-science.ru/forum/index.php?showto...&#entry9280]http://e-science.ru/forum/index.php?showto...&#entry9280[/url]
Автор первой задачи очевиден.
И задача №4 тоже встала. Вообще никаких мыслей.
Задачи для команды 1
Добавлено: 08 июл 2007, 13:43
AV_77
По 4-й задаче выше я написал практически полное решение (сообщение 24). Для завершения нужно провести индукцию по числу умножений на
![$$ 1 + x $$ $$ 1 + x $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%201%20%2B%20x%20%24%24)
.
По 1-й задаче.
Сначала сделаем замену
![$$ x = a^2 + b^2 + c^2 + y $$ $$ x = a^2 + b^2 + c^2 + y $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20x%20%3D%20a%5E2%20%2B%20b%5E2%20%2B%20c%5E2%20%2B%20y%20%24%24)
; уравнение перепишется в виде
![$$ a \sqrt{y+a^2} + b \sqrt{y + b^2} + c \sqrt{y + c^2} = a^2 + b^2 + c^2 $$ $$ a \sqrt{y+a^2} + b \sqrt{y + b^2} + c \sqrt{y + c^2} = a^2 + b^2 + c^2 $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20a%20%5Csqrt%7By%2Ba%5E2%7D%20%2B%20b%20%5Csqrt%7By%20%2B%20b%5E2%7D%20%2B%20c%20%5Csqrt%7By%20%2B%20c%5E2%7D%20%3D%20a%5E2%20%2B%20b%5E2%20%2B%20c%5E2%20%24%24)
.
Затем обозначим
![$$ \alpha = (a, b, c),\ \beta = (\sqrt{y + a^2}, \sqrt{y + b^2}, \sqrt{y + c^2}) $$ $$ \alpha = (a, b, c),\ \beta = (\sqrt{y + a^2}, \sqrt{y + b^2}, \sqrt{y + c^2}) $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Calpha%20%3D%20%28a%2C%20b%2C%20c%29%2C%5C%20%5Cbeta%20%3D%20%28%5Csqrt%7By%20%2B%20a%5E2%7D%2C%20%5Csqrt%7By%20%2B%20b%5E2%7D%2C%20%5Csqrt%7By%20%2B%20c%5E2%7D%29%20%24%24)
. Тогда условие можно переписать в виде
![$$ (\alpha \mid \beta) = (\alpha \mid \alpha) $$ $$ (\alpha \mid \beta) = (\alpha \mid \alpha) $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%28%5Calpha%20%5Cmid%20%5Cbeta%29%20%3D%20%28%5Calpha%20%5Cmid%20%5Calpha%29%20%24%24)
, где
![$$ (* \mid *) $$ $$ (* \mid *) $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%28%2A%20%5Cmid%20%2A%29%20%24%24)
- скалярное умножение. Это означает, что
![$$ (\alpha \mid \beta - \alpha) = 0 $$ $$ (\alpha \mid \beta - \alpha) = 0 $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%28%5Calpha%20%5Cmid%20%5Cbeta%20-%20%5Calpha%29%20%3D%200%20%24%24)
, т.e. векторы
![$$ \alpha $$ $$ \alpha $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Calpha%20%24%24)
и
![$$ \beta - \alpha $$ $$ \beta - \alpha $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Cbeta%20-%20%5Calpha%20%24%24)
ортогональны.
Дальше можно ввести базис плоскости, ортогональной вектору
![$$ \alpha $$ $$ \alpha $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Calpha%20%24%24)
, например, взять векторы
![$$ (-b, a, 0),\ (0, c, -b ) $$ $$ (-b, a, 0),\ (0, c, -b ) $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%28-b%2C%20a%2C%200%29%2C%5C%20%280%2C%20c%2C%20-b%20%29%20%24%24)
. Тогда уравнение можно записать в виде системы:
![$$ \sqrt{y + a^2} - a = -ub,\\ \sqrt{y + b^2} - b = ua + vc,\\ \sqrt{y + c^2} - c = -bv $$ $$ \sqrt{y + a^2} - a = -ub,\\ \sqrt{y + b^2} - b = ua + vc,\\ \sqrt{y + c^2} - c = -bv $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20%5Csqrt%7By%20%2B%20a%5E2%7D%20-%20a%20%3D%20-ub%2C%5C%5C%20%5Csqrt%7By%20%2B%20b%5E2%7D%20-%20b%20%3D%20ua%20%2B%20vc%2C%5C%5C%20%5Csqrt%7By%20%2B%20c%5E2%7D%20-%20c%20%3D%20-bv%20%24%24)
от трех переменных
![$$ y, u, v $$ $$ y, u, v $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%20y%2C%20u%2C%20v%20%24%24)
.
Решить такую систему теоретически возможно, но достаточно сложно.
Задачи для команды 1
Добавлено: 08 июл 2007, 13:52
andrej163
Автор-то очевиден, a как решить наше кто-нибудь придумал? Я что-то пока не совсем понимаю, как решать. Несмотря на то, что появились подсказки!
Задачи для команды 1
Добавлено: 08 июл 2007, 13:59
AV_77
И еще по первой задаче.
B крайнем случае всегда есть, так сказать, лобовое решение: возводим 3 раза в квадрат и избавляемся от корней. B результате получим уравнение 4-й степени, формулы решения которого хорошо известны.
Задачи для команды 1
Добавлено: 08 июл 2007, 22:27
Pavlovsky
По 4-й задаче выше я написал практически полное решение (сообщение 24). Для завершения нужно провести индукцию по числу умножений на .
Долго врубался. Врубился. Вроде все OK.
Задачи для команды 1
Добавлено: 08 июл 2007, 23:29
andrej163
Нам осталось только №1 решить? Bce остальные есть?(Полностью)
Задачи для команды 1
Добавлено: 09 июл 2007, 21:35
Pavlovsky
Подведу промежуточные итоги по задаче №1
1) Если a=b=c=0 все x> являются решением уравнения.
2) Если a,b,c > (кроме случая 1) есть единственное решение x=a^2+b^2+c^2
3) если a+b+c<0, то решений нет4)если a+b+c>0, то есть единственное решение, которое находится в интервале
![$$0 < y < \frac {(a^2+b^2+c^2)^2}{(a+b+c)^2}$$ $$0 < y < \frac {(a^2+b^2+c^2)^2}{(a+b+c)^2}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%240%20%3C%20y%20%3C%20%5Cfrac%20%7B%28a%5E2%2Bb%5E2%2Bc%5E2%29%5E2%7D%7B%28a%2Bb%2Bc%29%5E2%7D%24%24)
, где
![$$x = y + a^2+b^2+c^2$$ $$x = y + a^2+b^2+c^2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%20%3D%20y%20%2B%20a%5E2%2Bb%5E2%2Bc%5E2%24%24)