Интересные олимпиадные задачи

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 06 июн 2007, 01:50

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
Предлагаю несколько задач на сообразительность
1. Вы находитесь на башне высотой 100м. У вас в наличии есть веревка длиной 75 м и нож. Ha высоте 50 м вбит крюк за который можно зацепить веревку. Необходимо спуститься c башни вниз.

Попробуем:
есть верёвка длиной 75 метров. Разрезаем её на 2 куска - 25 м и 50 м длиной!!! Ha конце 25 м верёвки делам петельку, и продеваем 50 метровую, чтобы та сложилась пополам!!! Получается верёвка 50 м. Держим в руках 2 конца согнутой верёвки, и спускаемся до крюка!!! Там вытягиваем 50 м верёвку из петли, и привязываем к крюку!!! И благополучно спускаемся c башенки!!!!

Natrix · Сообщение **Natrix** » 06 июн 2007, 02:01

Задана последовательность $\left{a_n\right}$ , заданная своим первым членом $$a_1=1$$

, и рекуррентной формулой $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$ . (n=1, 2, 3,...)

1. Доказать, что $a_{100}>14$ .

2. Найти $[a_{1000}]$ . /Целую часть.../

3. Доказать существование и вычислить предел $\lim_{n \right \infty}\frac{a_n}{\sqrt{n}}$

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 06 июн 2007, 02:24

Natrix писал(а):Source of the post
Задана последовательность $\left{a_n\right}$ , заданная своим первым членом, и рекуррентной формулой $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$ . (n=1, 2, 3,...)
1. Доказать, что $a_{100}>14$ .

Единстнное, что приходит на ум:
можно заметить, что
$a_{n+1}^2\ge a_n^2+2$
a отсюда следует, что
$a_{100}\ge 14$

Natrix · Сообщение **Natrix** » 06 июн 2007, 07:51

andrej163 писал(а):Source of the post
Natrix писал(а):Source of the post
Задана последовательность $\left{a_n\right}$ , заданная своим первым членом, и рекуррентной формулой $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$ . (n=1, 2, 3,...)
1. Доказать, что $a_{100}>14$ .

Единстнное, что приходит на ум:
можно заметить, что
$a_{n+1}^2\ge a_n^2+2$
a отсюда следует, что
$a_{100}\ge 14$

He принято. Надо доказывать, чтобы было c очевидностью видно.

bot · Сообщение **bot** » 06 июн 2007, 10:48

andrej163 писал(а):Source of the post
Вы хотите сказать, что при любом a ответ будет
$x=\frac {a^2} {4}$ ???

Нет, конечно - только для $a \in (-\infty ; 0 ] \cup [8; +\infty )$

Допустим, что x - корень при некотором a. Тупо переносим удвоенный корень в правую часть, возводим в квадрат и после приведения подобных получаем:

$\sqrt{x^2-4ax+16x}=x-2a$

Снова в квадрат и опять без анализа (мы ведь ничего не утверждаем, кроме "если x - корень, то ... "):

$$ x^2-4ax+16x=x^2 - 4ax +4a^2$$

Откуда $x=\frac{a^2}{4}$

Итак, что мы получили? Пока только условное утверждение: если x - корень, то $x=\frac{a^2}{4}$ и других быть не может.

Остаётся лишь проверить, при каких $$a$$

это и в самом деле будет корнем нашего уравнения. Поставляем его в исходник:

$\sqrt{\frac{a^2}{4}-4a+16}+\sqrt{\frac{a^2}{4}}=2\sqrt{\frac{a^2}{4}-2a+4}$

Замечаем, что под радикалами стоят полные квадраты:

$\sqrt{(\frac{a}{2}-4)^2}+\sqrt{(\frac{a}{2})^2}=2\sqrt{(\frac{a}{2}-2)^2}$

Следовательно, после извлечения корней и домножения на 2 надо проверять равенство:

$$ |x-8| + |a| = 2 |a-4|$$

Разбивая действительную ось точками 0, 4, 8, убеждаемся, что это равенство справедливо для всех $$ a $$

, не лежащих в интервале $$ (0; 8) $$

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 06 июн 2007, 14:09

bot писал(а):Source of the post
andrej163 писал(а):Source of the post
Вы хотите сказать, что при любом a ответ будет
$x=\frac {a^2} {4}$ ???

Нет, конечно - только для $a \in (-\infty ; 0 ] \cup [8; +\infty )$

Допустим, что x - корень при некотором a. Тупо переносим удвоенный корень в правую часть, возводим в квадрат и после приведения подобных получаем:

$\sqrt{x^2-4ax+16x}=x-2a$

Снова в квадрат и опять без анализа (мы ведь ничего не утверждаем, кроме "если x - корень, то ... "):

Откуда $x=\frac{a^2}{4}$

Итак, что мы получили? Пока только условное утверждение: если x - корень, то $x=\frac{a^2}{4}$ и других быть не может.

Остаётся лишь проверить, при каких это и в самом деле будет корнем нашего уравнения. Поставляем его в исходник:

$\sqrt{\frac{a^2}{4}-4a+16}+\sqrt{\frac{a^2}{4}}=2\sqrt{\frac{a^2}{4}-2a+4}$

Замечаем, что под радикалами стоят полные квадраты:

$\sqrt{(\frac{a}{2}-4)^2}+\sqrt{(\frac{a}{2})^2}=2\sqrt{(\frac{a}{2}-2)^2}$

Следовательно, после извлечения корней и домножения на 2 надо проверять равенство:

Разбивая действительную ось точками 0, 4, 8, убеждаемся, что это равенство справедливо для всех , не лежащих в интервале

Вот это хорошо!!!! Молодец!!! Всё правильно!!!!!
Авторское решение можно даже не кидать!!!!

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 07 июн 2007, 00:45

andrej163 писал(а):Source of the post
a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
Предлагаю несколько задач на сообразительность
1. Вы находитесь на башне высотой 100м. У вас в наличии есть веревка длиной 75 м и нож. Ha высоте 50 м вбит крюк за который можно зацепить веревку. Необходимо спуститься c башни вниз.

Попробуем:
есть верёвка длиной 75 метров. Разрезаем её на 2 куска - 25 м и 50 м длиной!!! Ha конце 25 м верёвки делам петельку, и продеваем 50 метровую, чтобы та сложилась пополам!!! Получается верёвка 50 м. Держим в руках 2 конца согнутой верёвки, и спускаемся до крюка!!! Там вытягиваем 50 м верёвку из петли, и привязываем к крюку!!! И благополучно спускаемся c башенки!!!!

A почему автор вопроса, не говорит, правильно ли я решил???

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 07 июн 2007, 02:20

andrej163 писал(а):Source of the post
A почему автор вопроса, не говорит, правильно ли я решил???

Потому что правильное решение я сам не знаю. :huh:
Ho по-видимому вы решили правильно.

bot · Сообщение **bot** » 07 июн 2007, 08:30

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
andrej163 писал(а):Source of the post
A почему автор вопроса, не говорит, правильно ли я решил???

Потому что правильное решение я сам не знаю. :huh:
Ho по-видимому вы решили правильно.

Ну, есть задачи, в которых не бывает сомнений в правильности решений. Правильно, конечно.

Как то раз забавлялись подобными задачами, среди них была эта, a также задачка про два фитиля (слышали поди?) и другие.

Вот одна из них (оранжировка моя):

Что-то умников много развелось в султановом царстве. Пересажать бы их всех - кого на кол, кого в тюрьму. Вот только тюрьма переполнена - там и так больше сотни умников сидит. C них, пожалуй, и начнем. Собирает султан всех умников и объявляет:
- Завтра утром выстрою я вас в колонну в затылок друг другу и каждому на голову шапку одену - красную или синюю, у меня хоть тех, хоть других - на всех хватит. Каждый будет видеть шапки только всех впереди стоящих, кто оглянется - сразу на кол посажу. Потом, начиная c последнего начну спрашивать цвет его шапки. Кто ответит правильно - того отпущу, a кто нет - тех вечером на кол посажу. Спрашивают узники:
- Ну a если только один ошибется?
- Ну тогда, так и быть, и его помилую - отвечает султан.
Могут ли умники найти спасительную стратегию?

P.S. Решение готово было вот-вот появиться, a автор вопроса куда-то торопился, поэтому не утерпел и сказал, что задачу можно обобщить на случай, если у султана навалом шапок k разных цветов. Для меня это была мощная подсказка - решение увидел сразу.

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 07 июн 2007, 17:51

bot писал(а):Source of the post
a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
andrej163 писал(а):Source of the post
A почему автор вопроса, не говорит, правильно ли я решил???

Потому что правильное решение я сам не знаю. :huh:
Ho по-видимому вы решили правильно.

Ну, есть задачи, в которых не бывает сомнений в правильности решений. Правильно, конечно.

Как то раз забавлялись подобными задачами, среди них была эта, a также задачка про два фитиля (слышали поди?) и другие.

Вот одна из них (оранжировка моя):

Что-то умников много развелось в султановом царстве. Пересажать бы их всех - кого на кол, кого в тюрьму. Вот только тюрьма переполнена - там и так больше сотни умников сидит. C них, пожалуй, и начнем. Собирает султан всех умников и объявляет:
- Завтра утром выстрою я вас в колонну в затылок друг другу и каждому на голову шапку одену - красную или синюю, у меня хоть тех, хоть других - на всех хватит. Каждый будет видеть шапки только всех впереди стоящих, кто оглянется - сразу на кол посажу. Потом, начиная c последнего начну спрашивать цвет его шапки. Кто ответит правильно - того отпущу, a кто нет - тех вечером на кол посажу. Спрашивают узники:
- Ну a если только один ошибется?
- Ну тогда, так и быть, и его помилую - отвечает султан.
Могут ли умники найти спасительную стратегию?

P.S. Решение готово было вот-вот появиться, a автор вопроса куда-то торопился, поэтому не утерпел и сказал, что задачу можно обобщить на случай, если у султана навалом шапок k разных цветов. Для меня это была мощная подсказка - решение увидел сразу.

He знаю, как кто, но я такой не встречал!! Я слушал, даже наверное писал на форуме, o 3 мудрецах c шапками!! Ho там немного иначе!!!
Подумав, я пришёл к некоторому решению!! Оно немного пудрёжное, но всё-таки:
пронумеруем все цвета числами от 1 до k. Тогда пусть последний видит $$n_1$$

шапок первого цвета, $$n_2$$

- второго и т.д. Он может сосчитать, чему равна их комбинация $S=n_1+2n_2+...+(k-1)*n_{k-1}$ . Если он назовёт цвет c номером P = 1 + (остаток от деления S на k), то следующий, сосчитав для себя число S', всегда сможет определить, если какое-то из $$n_i$$

уменьшилось на единицу.

yourdomain.com