International Mathematical Competition

JeffLebovski

[url=http://zalil.ru/33619609]http://zalil.ru/33619609[/url]

IMC 2012. День 1

Ian · Сообщение **Ian** » 28 июл 2012, 16:51

Проблем 1. Для каждого положительного целого n, пусть $$p(n)$$

означает число способов выразить n в виде суммы положительных целых. В частности, $$p(4)=5$$

так как 4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1
Также определим $$p(0)=1$$

Докажите, что $$p(n)-p(n-1)$$

-это число способов представить n в виде суммы чисел, строго больших, чем 1.

Решение легко следует изтемы, обсуждавшейся позавчера. Даже то, что $$p(4)=5$$

там обсудили. Хотя задача предложена на АМС только сегодня, может утечка:)или суперинтуиция:)
Короче если наш Чувак по ту сторону Черного моря не перестал читать форум, наверняка решил. Хотя и так, наверное, решил:)

Еще одну переведу чтоб вам не скучать.
Проблем 4. Пусть $f:\mathbb R\to\mathbb R$ непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая $$f'(t)>f(f(t))$$

для всех $t\in\mathbb R$ . Доказать, что $f(f(f(t)))\leqslant 0$ для всех $t\geqslant 0$

JeffLebovski

Честно ТОЛЬко ее и решил. Решал так: Пусть число различных саособов разлоежкнтя числа $$k$$

, где $1\le k\le n$ , не содержащих 1 в своем разложении --- $$p(k)-p(k-1)$$

. Тогда число способов которыми можно представить число $$ n+1$$

--- $p(n)-p(n-1)+p(n-1)-p(n-2)+\ldots + p(2)-p(1)+1=p(n)$ , содержащих хотчбы 1 единицу. Индукционный переход. Вообще как Вам задачки? Плмлему сложные... Завтра как отрешаю плстооаюсь отфоткать ивыложмть.
P.S. Извините за какртинки играм нетосномти. Пишу с телефона

Ian · Сообщение **Ian** » 28 июл 2012, 19:17

JeffLebovski писал(а):Source of the post
Вообще как Вам задачки? Помоему сложные...

Да, остальные сложнее, тоже пока не выходят

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 28 июл 2012, 21:15

Последняя (Problem 5).

Сначала одно вспомогательное утверждение.
Пусть $f \in \mathbb{Q}[x]$ - такой многочлен, что $$f(-a) = f(a)$$

для любого $a \in \mathbb{Q}$ и пусть $$f = pq$$

, причем

взаимно просты. Тогда $$p(x) = p_0(x^2)$$

и

.

В самом деле, пусть $$p = p_0 + xp_1$$

и

, где

- многочлены от $$x^2$$

. При этом можно считать, что $$(p_0, p_1) = 1 = (q_0, q_1)$$

. В противном случае можно вынести общий множитель, который является многочленом от $$x^2$$

. Тогда

.
Так как для любого $a \in \mathbb{Q}$ выполняется равенство $$f(-a) = f(a)$$

, то необходимо $$p_0q_1 + p_1q_0 = 0$$

. Отсюда следует, что $$p_0 = -q_0$$

и

, то есть

, что невозможно по предположению.

Перейдем теперь к задача. Отметим, что если $x^{2^n}(x+a)^{2^n}+1$ разложим, то его сомножители взаимно просты, так как он не имеет кратных корней в $\mathbb{C}$ . Сделав замену $x = y + \frac{a}{2} = y + b$ , получим $(y-b)^{2^n}(y+b)^{2^n}+1 = (y^2-b^2)^{2^n}+1$ . По вспомогательному утверждению, многочлен $(y^2-b^2)^{2^n}+1$ разложим тогда и только тогда, когда разложим многочлен $(z-b^2)^{2^n}+1$ . Последний приводится к виду $(t+1)^{2^n}+1$ , который является неразложимым по критерию Эйзенштейна.

Ian · Сообщение **Ian** » 29 июл 2012, 07:24

Проблем 2. Пусть n данное целое положительное. Определить наименьший возможный ранг матрицы nXn, на главной диагонали которой стоят нули, а на остальных местах строго положительные числа.[spoiler=Решение (не мое)] Минимальный ранг равен 3 при любом n>2. В решении участника Victor Padureanu , Румыния, приводится формула для элементов матрицы ранга 3 при любом n>2 $a_{ij}=\frac ij+\frac ji-2$ . Красиво
Докажу как проще. Пусть $$J=(j_1,j_2,j_3,j_4)$$

подмножество различных индексов. Докажем, что 4 строки с этими номерами линейно зависимы. Нужно, чтобы нашлись такие коэффициенты $$a_k$$

, не все равные 0, чтобы
$\displaystyle \sum_{k=1}^4a_k\left(\frac i{j_k}+\frac{j_k}i-2\right)=0$ для любого i, то есть
$\displaystyle i\sum_{k=1}^4\frac {a_k}{j_k}+\frac 1i \sum_{k=1}^4a_kj_k-2\sum_{k=1}^4a_k=0$ ,
для этого достаточно выполнения трех равенств
$\displaystyle \\\sum_{k=1}^4\frac{a_k}{j_k}=0\\\sum_{k=1}^4a_kj_k=0\\\sum_{k=1}^4a_k=0$ ,
это однородная система 3 уравнений с 4 неизвестными, имеющая ненулевое решение[/spoiler]

JeffLebovski

Кстати, 4ую задачу никто из участников не решил.

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 29 июл 2012, 20:23

JeffLebovski писал(а):Source of the post
Кстати, 4ую задачу никто из участников не решил.

А у вас как успехи?

JeffLebovski

AV_77 писал(а):Source of the post
JeffLebovski писал(а):Source of the post
Кстати, 4ую задачу никто из участников не решил.

А у вас как успехи?

Пложо,за первый день 7 баллов за 1 из 10 поставили. Во втором дне регил 2ую также как и аыторы. 3ю вроде решил(ответ правильный:)). Окончательныее раезультаты будут в 23-00. т.е. через час

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 29 июл 2012, 20:46

Ну задачи, сложные, конечно. Я, наверное, еще 3 могу решить, вроде там достаточно понятно что делать. А в четвертой даже не знаю с чего начать.

yourdomain.com