Студенческая олимпиада НГУ по математике

bot · Сообщение **bot** » 23 окт 2011, 08:54

1. Некоторый многочлен степени $$2011$$

с целыми коэффициентами принимает значения $\pm 1$ в
$$2011$$

различных точках. Можно ли его разложить в произведение
многочленов меньших степеней с целыми коэффициентами?

2. Среди 29 разложенных в ряд монет имеется 3 фальшивые, причём известно, что они лежат подряд. Настоящие монеты имеют стандартный вес, а фальшивые какой попало, но легче настоящей. За три взвешивания на рычажных весах выявить все три фальшивые монеты.

3. Найти все действительные решения уравнения $x\sqrt {y - 1} + y\sqrt {x - 1} = xy$

4. В четырёхугольнике $$ABCD$$

углы $\angle B$ и $\angle D$ прямые, а длины сторон $$AB$$

и

равны. На прямых $$BC$$

и

выбраны соответственно точки
$$E$$

и

так, что $DE\bot AF$ . Докажите, что $AE\bot BF$ .

5. Найти все действительные решения системы уравнений $\displaystyle \left\{\begin{matrix}x^4 + y^4 + z^4 = 2\\ x^5 + y^5 +z^5 = 2\\ x^6 + y^6 + z^6 =2\end{matrix}\right.$
3' Вычислить предел $\lim\limits_{x\to 1}\int\limits_x^{x^2}\frac{dt}{\ln t}.$

4'. Существует ли такая биекция $\pi: \mathbb N \rightarrow \mathbb N$ , при которой сходится ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\pi(n)}{n^2}$ ?

5'. Векторное умножение на фиксированный вектор $$u$$

задаёт в трёхмерном вещественном пространстве линейное преобразование $\varphi: x\rightarrow u\times x$ ,
переводящее любой вектор $$x$$

в ему ортогональный. Доказать обратное утверждение: любое линейное преобразование $\varphi$ , переводящее всякий вектор
в ему ортогональный, представимо в виде $\varphi (x)=u\times x$ для подходящего вектора $$u$$

.

Для 1-го курса задачи 1-5, для 2-4 курсов 1,2, 3'-5'.

i	Upd. В задаче 1 по недосмотру было пропущено условие, что эти 2011 точек целые. Можно рассмотреть оба случая - с этим условием и без него. Это будут разные задачи.

Ian · Сообщение **Ian** » 23 окт 2011, 10:00

Господа оракулы и проч. сэнсеи, делим по одной и не толпимся:)
[spoiler=идея 5"]По аналогии с известным способом восстановления билинейной формы по квадратичной(здесь его в лоб нельзя, симметричности нет)
$2(\varphi(u),v)+2(\varphi(v),u)=(\varphi(u+v),u+v)-(\varphi(u-v),u-v)=0$ ,значит матрица отображения $\varphi$ кососимметрична. Берем наддиагональные элементы этой матрицы с подходящими знаками в качестве u[/spoiler]

MrDindows · Сообщение **MrDindows** » 23 окт 2011, 10:27

Решение второй задачи:
Взвешиваем две группы монет (под номерами): (3, 6, 9) и ( 12, 15, 18). Из результата делаем вывод, что фальшивые монеты могут быть в группах:
Либо 1..11, ( если (3, 6, 9) < ( 12, 15, 18) )Либо 10..20, ( если (3, 6, 9) > ( 12, 15, 18) )
Либо 19..29, ( если (3, 6, 9) = ( 12, 15, 18) )
Итого у нас 3 группы, в каждой из которых по 11 монет.
Без ограничения, будем рассматривать группу 1..11.

Вторым взвешиванием взвешиваем монеты: (3) и (6).
Тогда фальшивые могут быть в группах:
Либо 1..5, ( если (3) < )Либо 4..8, ( если (3) > )
Либо 7..11, ( если (3) = )

Получили три группы по 5 монет.
1..5
Монета 3 точно фальшивая, так как фальшивые монеты идут подряд.
Взвешиваем (1) и (5). Если они равны, то фальшивые: 2,3,4, и если какая-то меньше, например 1, то фальшивые 1,2,3

Ian · Сообщение **Ian** » 23 окт 2011, 10:55

У MrDindows уже 2, считая №3 на dxdy
[spoiler=4"]Положительный ряд можно переставлять и складывать с другим, сходящимся одновременно, значит проверим $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\pi (n)}{n^2}+\frac{n}{(\pi (n))^2}\right)\geqslant\sum_{n=1}^{\infty}\frac 3{n\sqrt [3]{4}}$ по неравенству Коши $\frac a{b^2}+\frac b{a^2}=\frac a{2b^2}+\frac a{2b^2}+\frac b{a^2}\geqslant 3\sqrt [3]{\frac a{2b^2}\frac a{2b^2}\frac b{a^2}}$ значит расходится[/spoiler]

MrDindows · Сообщение **MrDindows** » 23 окт 2011, 11:01

Ian писал(а):Source of the post
У MrDindows уже 2, считая №3 на dxdy

№3 на dxdy не считается=) До меня там запостили два других её решения)

BSK · Сообщение **BSK** » 24 окт 2011, 10:42

bot писал(а):Source of the post
1. Некоторый многочлен степени с целыми коэффициентами принимает значения $\pm 1$ в
различных точках. Можно ли его разложить в произведение
многочленов меньших степеней с целыми коэффициентами?

$\displaystyle \prod_{k=1}^{2011}(x-2k)$ - например, этот можно разложить

Ian · Сообщение **Ian** » 24 окт 2011, 13:17

bot писал(а):Source of the post 1. Некоторый многочлен степени с целыми коэффициентами принимает значения $\pm 1$ в различных точках.

но 2012 таких точек указать нельзя? в этом что ли прикол?

bot · Сообщение **bot** » 24 окт 2011, 15:57

Не прикол, а прокол

bot писал(а):Source of the post
i Upd. В задаче 1 по недосмотру было пропущено условие, что эти 2011 точек целые. Можно рассмотреть оба случая - с этим условием и без него. Это будут разные задачи.

Некоторые участники подобно BSK указали пример и рассмотрели случай с целыми точками (который по задумке и должен был быть).

upd. В примере BSK можно указать 2012 точек с нужными значениями.

Relz · Сообщение **Relz** » 29 окт 2011, 14:57

3.
$x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=xy$

$\frac {1} {2}x(y-2\sqrt{y-1})+\frac {1} {2}y(x-2\sqrt{x-1})=0$

$x(\sqrt{y-1}-1)^2+y(\sqrt{x-1}-1)^2=0$

Учитывая что x>=1 и y>=1, нужно лишь приравнять каждое из слагаемых к 0. Ответ (2, 2)

5.

Да, простите, ошибся.

СергейП

Relz писал(а):Source of the post 5.

....

Противоречие. Решений нет.

Все комбинации из 2 единиц и 0 - решения

yourdomain.com