Среднее значение, если математическое ожидание не существует

Самоед

zykov писал(а):Source of the post
Таланов писал(а):Source of the post
Значения, которые приняла это одна случайная величина.

Одна величина имеет одно значение.

Здесь распределение одно, а величин несколько. Их значения вообще к делу отношения не имеют. Суммирование ведется случайных величин.

Из метрологии:
"Величина - определенная характеристика материального объекта, имеющая качественное и количественное содержание".
Из алгебры:
Величины обозначают латинскими буквами; разным буквам соответствуют разные величины, одинаковым буквам соответствует одна величина.
Пример:
{а,b,c,...,x,y,z} - множество разных величин (номинация или условное именование)
{a1,a2,a3,...} - множество разных числовых значений одной величины (условная номинация и условная нумерация значений).

Ian · Сообщение **Ian** » 15 окт 2012, 19:21

zykov писал(а):Source of the post
$E[\sum_{i=1}^{n}{x_i}]=\idotsint\limits_{{\mathbb R}^n}{(\sum_{i=1}^{n}{x_i}) \cdot p(x_1)p(x_2) \ldots p(x_n) \cdot dx_1 dx_2 \ldots dx_n}= \\ \sum_{i=1}^{n}({\idotsint\limits_{{\mathbb R}^n}{x_i \cdot p(x_1)p(x_2) \ldots p(x_n) \cdot dx_1 dx_2 \ldots dx_n}})= \\ \sum_{i=1}^{n}(({\int\limits_{\mathbb R}{p(x_1) \cdot dx_1}) \cdot ({\int\limits_{\mathbb R}{p(x_2) \cdot dx_2}) \cdot \ldots \cdot ({\int\limits_{\mathbb R}{x_i \cdot p(x_i) \cdot dx_i}) \cdot \ldots \cdot ({\int\limits_{\mathbb R}{p(x_n) \cdot dx_n})}) =$
$\sum_{i=1}^{n}(1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot ({\int\limits_{\mathbb R}{x_i \cdot p(x_i) \cdot dx_i}) \cdot \ldots \cdot 1})=$
$\sum_{i=1}^{n}({\int\limits_{\mathbb R}{x_i \cdot p(x_i) \cdot dx_i}})= n \cdot {\int\limits_{\mathbb R}{x \cdot p(x) \cdot dx}}$

Вот все эти операции правильны когда они со сходящимися интегралами,а по предположению пост 1 они расходящиеся.
Рассмотрим $p(x)=\frac 1{2(1+|x|)^2}$ на всей прямой. Матожидание не существует, интеграл формально расходится.Однако уже матожидание от $$0,5(x_1+x_2)$$

существует и равно 0, как несобственный интеграл на плоскости все там сходится. Так что мой ответ на вопрос ТС "скорее да, чем нет" -зависит от нюансов определений. Поэтому обычно предполагают в теоремах, что матожидание модуля конечное.

zykov · Сообщение **zykov** » 16 окт 2012, 05:38

Ian писал(а):Source of the post
Вот все эти операции правильны когда они со сходящимися интегралами,а по предположению пост 1 они расходящиеся.

Согласен, что нужно бы рассмотерть более строго.
Но тут как раз логика такая, что предполагается сходимость для суммы и получается противоречие.
Есть конечно вопрос по правомерности выноса суммы за переделы интеграла в первом интеграле. Но учитывая, что все члены суммы оказываются эквиваленты друг другу, то это будет сродни выносу постоянного множителя.

Ian писал(а):Source of the post
Рассмотрим $p(x)=\frac 1{2(1+|x|)^2}$ на всей прямой. Матожидание не существует, интеграл формально расходится.Однако уже матожидание от существует и равно 0, как несобственный интеграл на плоскости все там сходится.

Честно говоря не вижу, как он сходится на плоскости. Если по кругам, когда радиус стремится к бесконечности, то это мало интересно. Матожидание для исходного распределения сойдется, если пределы устремить к бесконечностям симметрично, но сам то интеграл расходится. Чтобы не возится с такой симметрией, можно рассматривать только положительные случайные величины.

Если рассмотереть плотность распределения для суммы $$s=x_1+x_2$$

, то её можно выразить интегралом $p_0(s)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{4(1+|x|)^2(1+|s-x|)^2}\,dx$ . Сам он несколько тяжеловесный, но достаточно рассмотерть только один кусок, скажем третий для s больше нуля $p_3(s)=\int_{s}^{+\infty}\frac{1}{4(1+|x|)^2(1+|s-x|)^2}\,dx=\int_{s}^{+\infty}\frac{1}{4(1+x)^2(1-s+x)^2}\,dx=\frac{s(1+\frac1{1+s})-2log(s+1)}{4s^3}$ . Т.е. асимптотика хвоста будет как минимум $s^{-2}$ и интеграл матожидания расходится.

Ian · Сообщение **Ian** » 16 окт 2012, 06:35

zykov писал(а):Source of the post Т.е. асимптотика хвоста будет как минимум $s^{-2}$ и интеграл матожидания расходится.

Ваши вычисления тут верны хотя и несколько неожиданны. Учту, спасибо

myn · Сообщение **myn** » 16 окт 2012, 15:05

Vector писал(а):Source of the post
Интересует следующий вопрос. Пусть - непрерывная случайная величина, для которой ни один из моментов не определен, в.т.ч. мат.ожидание. Всегда ли не существует в этом случае предел
$\lim \limits_{n \to \infty} {\frac {1} {n}\sum_{i=1}^{n}{x_i}}$ ,

где $\{x_i\}$ - значения этой случайной величины?

все разборки в теме из-за неверно сформулированного первого поста, конечно....
его формулировка противоречит элементарным понятиям теории вероятностей.

Если Х - непрерывная случайная величина, то по ее смыслу, по соответствующим теоремам вероятность принятия ею ЛЮБОГО конкретного значения $\{x_i\}$ , т.е. вероятность попадания в точку, равна нулю. Определяется для нее только вероятность попадания в любой (хотя бы бесконечно малый) интервал, соответственно через плотность. Поэтому исходное сообщение явило собой безграмотную с вероятностной точки зрения формулировку и все последующие выступления - кто принял за выборку, кто за сумму случайных величин, чтобы как-то понять что ж это было...

Поэтому предлагаю автору все же сформулировать - что же он хотел - грамотно.
Или это сумма значений дискретной случайной величины или интеграл от плотности непрерывной...

Vector писал(а):Source of the post
Тут же простая последовательность значений, которые приняла единственная случайная величина.

так Вы все-таки о случайно величине (теория вероятностей) или о выборке (математическая статистика)? Но выборка (случайная ) представляет собой последовательность независимых случайных величн, имеющих такой же закон распределения,как и генеральная совокупность Х...

myn · Сообщение **myn** » 16 окт 2012, 15:35

Andrey Zykov совершенно прав

Таланов писал(а):Source of the post
Нет такой теории. Но я встречал иногда дебилов, которые её используют. Задолбали, блин. И ведь ничем их не возьмёшь. Вопиющая безграмотность сейчас у нас в цене?

как грустно... ничего не изменилось...

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 17 окт 2012, 01:33

myn писал(а):Source of the post
так Вы все-таки о случайно величине (теория вероятностей) или о выборке (математическая статистика)? Но выборка (случайная ) представляет собой последовательность независимых случайных величн, имеющих такой же закон распределения,как и генеральная совокупность Х...

Как интересно... Теория вероятностей или математическая статистика - вместе не уживаются никак?

Я попробую сформулировать конкретную задачу. У меня есть выборка объемом N - это экспериментальные данные, и с ними уже ничего не поделаешь. У меня есть подозрение (и кое-какие соображения), что измеряемая величина была распределена по закону
$p(x) ~ \frac 1 {1+a(x-b)^2}$ .
Я хотел бы увеличить объем выборки, если это дает мне возможность точнее определить параметры распределения, а дает ли?

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 17 окт 2012, 16:25

Почему на борелевском множестве такая тишина? Я нечаянно всех оскорбил?

Swetlana · Сообщение **Swetlana** » 17 окт 2012, 17:26

исключительно для поддержания разговора

во 2 томе Феллера написано, что случайная величина называется простой, если она принимает только счётное число значений {aj} каждое на множестве Aj, принадлежащем основной сигма-алгебре.
К таким случайным величинам применима дискретная теория первого тома, и мы определим матожидание
равенством $\sum a_kP\{A_k\}$ , при условии, что ряд сходится абсолютно

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 17 окт 2012, 17:46

Светлана, спасибо! Прямо луч света в темном царстве.

К сожалению, условие абсолютной сходимости ряда в приведенном мной примере я гарантировать не могу - только условную сходимость.
И что теперь делать?

yourdomain.com