Интегралы

kohek · Сообщение **kohek** » 04 мар 2012, 18:48

Как взять такие интегралы, подскажите пожалуйста :

1) $\int{\frac {\frac {2} {3} - \frac {x} {3}} {x^2-x+1}dx$

2) $\int{\frac { 2x - \frac {7} {3}} {6x^2-7x-3}dx$

3) $\int{\frac { 2x - \frac {7} {3}} {6x^2-7x-3}dx$

4) $10 \int{\frac {1} {t^5 + t^6}dt$

MrDindows · Сообщение **MrDindows** » 04 мар 2012, 19:10

Разделяете свою дробь на два слагаемых, в одном в числителе должна быть производная от знаменателя,
в другом просто константа. Разделяете на два интеграла. В первом заводите числитель под дифференциал, получаете интеграл от 1/u, во втором выделяете в знаменателе полный квадрат, получает интеграл 1/(u^2+a^2)

2 и 3 - аналогично.
4 надо разложить на сумму дробей вида
$\frac{A}{t}+\frac{B}{t^2}+\frac{C}{t^3}+\frac{D}{t^4}+\frac{E}{t+1}$

Hellko · Сообщение **Hellko** » 04 мар 2012, 19:29

4 интеграл:
в знаментале выносите $$t^5$$

за скобку, и раскладываете на элементарные дроби.

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 04 мар 2012, 19:43

kohek писал(а):Source of the post
Как взять такие интегралы, подскажите пожалуйста :
1) $\int{\frac {\frac {2} {3} - \frac {x} {3}} {x^2-x+1}dx$
2) $\int{\frac { 2x - \frac {7} {3}} {6x^2-7x-3}dx$
3) $\int{\frac { 2x - \frac {7} {3}} {6x^2-7x-3}dx$
4) $10 \int{\frac {1} {t^5 + t^6}dt$

Все это интегралы от рациональных функций и решаются они разложением на простейшие дроби.
Посмотрите здесь [url=http://www.math24.ru/integration-of-rational-functions.html]http://www.math24.ru/integration-of-rational-functions.html[/url]

kohek · Сообщение **kohek** » 04 мар 2012, 19:54

MrDindows писал(а):Source of the post
Разделяете свою дробь на два слагаемых, в одном в числителе должна быть производная от знаменателя,
в другом просто константа. Разделяете на два интеграла. В первом заводите числитель под дифференциал, получаете интеграл от 1/u, во втором выделяете в знаменателе полный квадрат, получает интеграл 1/(u^2+a^2)

2 и 3 - аналогично.
4 надо разложить на сумму дробей вида
$\frac{A}{t}+\frac{B}{t^2}+\frac{C}{t^3}+\frac{D}{t^4}+\frac{E}{t+1}$

Тут наверное как-то проще можно, потому что то что вы рассказали на начальном этапе решения, мы такого не учили.. Как это производная от знаменателя в числителе, что это за метод?

MrDindows · Сообщение **MrDindows** » 04 мар 2012, 20:11

kohek писал(а):Source of the post
Тут наверное как-то проще можно, потому что то что вы рассказали на начальном этапе решения, мы такого не учили.. Как это производная от знаменателя в числителе, что это за метод?

Нет. Это стандартный метод. Вот мы 2 недели назад его как раз проходили, и именно для таких уравнений. Может быть вы спешите с домашними заданиями, а вам только на следующей паре это будут объяснять...
"получить производную от знаменателя в числителе" значит:
$\frac {\frac {2} {3} - \frac {x} {3}} {x^2-x+1}dx=-\frac16 \frac{2x-4} {x^2-x+1}dx= -\frac16 \frac{(2x-1)dx-3dx} {x^2-x+1}=$
$=-\frac16 \frac{d(x^2-x-1)-3dx} {x^2-x+1}= -\frac16 \frac{d(x^2-x-1)}{x^2-x+1}+\frac{dx} {2(x^2-x+1)}$
Ну собственно всё это есть на картинке.

Hellko · Сообщение **Hellko** » 04 мар 2012, 20:12

kohek писал(а):Source of the post Тут наверное как-то проще можно, потому что то что вы рассказали на начальном этапе решения, мы такого не учили.. Как это производная от знаменателя в числителе, что это за метод?

допустим у вас в знаменателе $$x^2+x+1$$

можно сделать замену $$t=x^2+x+1$$

тогда

теперь понятнее?

kohek · Сообщение **kohek** » 04 мар 2012, 20:20

Hellko писал(а):Source of the post
kohek писал(а):Source of the post Тут наверное как-то проще можно, потому что то что вы рассказали на начальном этапе решения, мы такого не учили.. Как это производная от знаменателя в числителе, что это за метод?

допустим у вас в знаменателе можно сделать замену тогда теперь понятнее?

ААА!! Понял)

MrDindows писал(а):Source of the post
kohek писал(а):Source of the post
Тут наверное как-то проще можно, потому что то что вы рассказали на начальном этапе решения, мы такого не учили.. Как это производная от знаменателя в числителе, что это за метод?

Нет. Это стандартный метод. Вот мы 2 недели назад его как раз проходили, и именно для таких уравнений. Может быть вы спешите с домашними заданиями, а вам только на следующей паре это будут объяснять...
"получить производную от знаменателя в числителе" значит:
$\frac {\frac {2} {3} - \frac {x} {3}} {x^2-x+1}dx=-\frac16 \frac{2x-4} {x^2-x+1}dx= -\frac16 \frac{(2x-1)dx-3dx} {x^2-x+1}=$
$=-\frac16 \frac{d(x^2-x-1)-3dx} {x^2-x+1}= -\frac16 \frac{d(x^2-x-1)}{x^2-x+1}+\frac{dx} {2(x^2-x+1)}$
Ну собственно всё это есть на картинке.

нет, мы уже закончили эти тему на лекциях и начали ДУ, а завтра последняя пара семинаров с этой темы.

Спасибо всем.

bot · Сообщение **bot** » 05 мар 2012, 03:24

kohek писал(а):Source of the post
Как это производная от знаменателя в числителе, что это за метод?

А вот такой метод - называется он хочу и буду. Есть предположим такой интеграл $\int\frac{\frac{2}{3}-\frac{x}{3}}{x^2-x+1}dx$

1) Хочу, чтобы под дифференцалом был знаменатель:

$\int\frac{\frac{2}{3}-\frac{x}{3}}{x^2-x+1}dx=?\int\frac{d(x^2-x+1)}{x^2-x+1}$

2) Проверяю, а вдруг попал? $$d(x^2-x+1)=(2x-1)dx$$

Нет, не попал. Ну не беда, домножим-ка на $-\frac{1}{6}$ :

$\int\frac{\frac{2}{3}-\frac{x}{3}}{x^2-x+1}dx=?-\frac{1}{6}\int\frac{d(x^2-x+1)}{x^2-x+1}$

3) Опять проверяю:

$\int\frac{\frac{2}{3}-\frac{x}{3}}{x^2-x+1}dx=?-\frac{1}{6}\int\frac{d(x^2-x+1)}{x^2-x+1}=\int\frac{(-\frac{x}{3}+\frac{1}{6})dx}{x^2-x+1}=$ Вот незадача - слева в числителе $\frac23 dx$ а справа $\frac16 dx$ . Исправлять опять домножением бесполезно - исправишь свободный член, испортится коэффицикнт при $$x$$

,

4) Исправим сложением:

$\int\frac{\frac{2}{3}-\frac{x}{3}}{x^2-x+1}dx=-\frac{1}{6}\int\frac{d(x^2-x+1)}{x^2-x+1}+\frac12\int\frac{dx}{x^2-x+1}$

На самом деле, всё что написано до 4), происходит устно, а видимое только последнее равенство.

kohek · Сообщение **kohek** » 05 мар 2012, 17:58

3/(t^3+2*t)dt

как такой взять?

yourdomain.com