Страница 1 из 1
Замечательные пределы
Добавлено: 23 окт 2011, 18:18
BIOSonar
Здравствуйте. Никак не могу продвинуться в решении примера.
![$$\lim \limits_{x \to 0} {}\frac {ctg(x )*(1-cos^2 (3x))} {x^2 + 5x}$$ $$\lim \limits_{x \to 0} {}\frac {ctg(x )*(1-cos^2 (3x))} {x^2 + 5x}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Clim%20%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%7B%7D%5Cfrac%20%7Bctg%28x%20%29%2A%281-cos%5E2%20%283x%29%29%7D%20%7Bx%5E2%20%2B%205x%7D%24%24)
Ставлю sin^2(3x). ctg делаю как cos(x)/sin(x). Но это ничего не дает.
Помогите пожалуйста решить данный предел. В mathcad ответ 0 получился.
Замечательные пределы
Добавлено: 23 окт 2011, 18:24
AV_77
Замечательные пределы
Добавлено: 23 окт 2011, 18:47
BIOSonar
Спасибо . Но...
Исходя из нашей программы решать так мы не должны были. Мы должны были применить какую-то тригонометрическую формулу, чтобы упростить подлогарифмическое выражение либо привести какой то сомножитель в виде первого замечательного предела. Подскажите, пожалуйста, какую формулу можно использовать?
Замечательные пределы
Добавлено: 23 окт 2011, 18:54
AV_77
Сами же написали - замечательные пределы. Вот первый из них и используйте. Катангенс через синус и косинус представить, косинус потом можно выкинуть. Останутся одни синусы и к ним применить 1-й замечательный предел.
Замечательные пределы
Добавлено: 23 окт 2011, 18:58
4 8 15...
BIOSonar писал(а):Source of the post Здравствуйте. Никак не могу продвинуться в решении примера.
![$$\lim \limits_{x \to 0} {}\frac {ctg(x )*(1-cos^2 (3x))} {x^2 + 5x}$$ $$\lim \limits_{x \to 0} {}\frac {ctg(x )*(1-cos^2 (3x))} {x^2 + 5x}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Clim%20%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%7B%7D%5Cfrac%20%7Bctg%28x%20%29%2A%281-cos%5E2%20%283x%29%29%7D%20%7Bx%5E2%20%2B%205x%7D%24%24)
Ставлю sin^2(3x). ctg делаю как cos(x)/sin(x). Но это ничего не дает.
Помогите пожалуйста решить данный предел. В mathcad ответ 0 получился.
Через Тейлора делайте, обращая в числителе и знаменателе внимание лишь на наименьшие степени х (вот Вам, кстати, и замечательные пределы). А ответ не 0.
[url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim_{x-%3E0}+\dfrac{ctg(x)*sin(3x)*sin(3x)}{x*x%2B5x}][url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim_{...(3x)}{x*x%2B5x}]http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim_{...(3x)}{x*x%2B5x}[/url][/url]
Замечательные пределы
Добавлено: 23 окт 2011, 18:59
СергейП
Так а в чём проблема, если почти всё в 1-ом посте есть.
Конечно, вот это враньё
![$$\displaystyle \lim \limits_{x \to 0} {}\frac {\ctg(x ) \cdot (1-\cos^2 (3x))} {x^2 + 5x}=\lim_{x \to 0} \frac {\cos x \cdot \sin^2 (3x)} {x(x + 5)\sin x }=...$$ $$\displaystyle \lim \limits_{x \to 0} {}\frac {\ctg(x ) \cdot (1-\cos^2 (3x))} {x^2 + 5x}=\lim_{x \to 0} \frac {\cos x \cdot \sin^2 (3x)} {x(x + 5)\sin x }=...$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%20%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%7B%7D%5Cfrac%20%7B%5Cctg%28x%20%29%20%5Ccdot%20%281-%5Ccos%5E2%20%283x%29%29%7D%20%7Bx%5E2%20%2B%205x%7D%3D%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%20%7B%5Ccos%20x%20%20%5Ccdot%20%5Csin%5E2%20%283x%29%7D%20%7Bx%28x%20%2B%205%29%5Csin%20x%20%7D%3D...%24%24)
и дальше домножить числитель и знаменатель на ...
На что?
Замечательные пределы
Добавлено: 23 окт 2011, 20:56
folk
sin(3x)=3sin(x)-4sin(x)^3
сократите на sin(x)
получите 9/5
Замечательные пределы
Добавлено: 23 окт 2011, 21:06
СергейП
Зачем эти страсти?
Я же уже почти всё написал
![$$\displaystyle \lim \limits_{x \to 0} {}\frac {\ctg(x ) \cdot (1-\cos^2 (3x))} {x^2 + 5x}=\lim_{x \to 0} \frac {\cos x \cdot \sin^2 (3x)} {x(x + 5)\sin x }=\lim_{x \to 0} \frac {9x \cos x \cdot \sin^2 (3x)} {9x^2(x + 5)\sin x }=$$ $$\displaystyle \lim \limits_{x \to 0} {}\frac {\ctg(x ) \cdot (1-\cos^2 (3x))} {x^2 + 5x}=\lim_{x \to 0} \frac {\cos x \cdot \sin^2 (3x)} {x(x + 5)\sin x }=\lim_{x \to 0} \frac {9x \cos x \cdot \sin^2 (3x)} {9x^2(x + 5)\sin x }=$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cdisplaystyle%20%5Clim%20%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%7B%7D%5Cfrac%20%7B%5Cctg%28x%20%29%20%5Ccdot%20%281-%5Ccos%5E2%20%283x%29%29%7D%20%7Bx%5E2%20%2B%205x%7D%3D%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%20%7B%5Ccos%20x%20%20%5Ccdot%20%5Csin%5E2%20%283x%29%7D%20%7Bx%28x%20%2B%205%29%5Csin%20x%20%7D%3D%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%20%7B9x%20%5Ccos%20x%20%20%5Ccdot%20%5Csin%5E2%20%283x%29%7D%20%7B9x%5E2%28x%20%2B%205%29%5Csin%20x%20%7D%3D%24%24)
![$$\displaystyle =\lim_{x \to 0} \frac {\sin^2 (3x)} {(3x)^2 }\cdot \frac {x } {\sin x }\cdot \frac {9 \cos x } {x + 5}=...$$ $$\displaystyle =\lim_{x \to 0} \frac {\sin^2 (3x)} {(3x)^2 }\cdot \frac {x } {\sin x }\cdot \frac {9 \cos x } {x + 5}=...$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cdisplaystyle%20%3D%5Clim_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%20%7B%5Csin%5E2%20%283x%29%7D%20%7B%283x%29%5E2%20%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%20%7Bx%20%7D%20%7B%5Csin%20x%20%7D%5Ccdot%20%20%5Cfrac%20%7B9%20%5Ccos%20x%20%7D%20%7Bx%20%2B%205%7D%3D...%24%24)
Замечательные пределы
Добавлено: 24 окт 2011, 14:48
BIOSonar
Спасибо. Думал на неизвестную (9x) нельзя домножать. Ан вот можно.