Про сходимость рядов
Добавлено: 29 авг 2011, 14:00
Известно, что если ряд является условно сходящимся, то при изменении порядка суммирования он может сходиться к любому другому числу.
Все перестановки абсолютно сходящегося ряда сходятся к одной и той же сумме.
Доказательство:
Для любого положительного существует такое N, что для всех выполняется
Пусть ряд
получен из ряда
путем перестановки слагаемых
Возьмем число M таким, чтобы в сумму
Входили все члены, входящие в сумму
Запишем
Отсюда получим
С учетом того, что модуль суммы меньше или равен сумме модулей
или
Выбрав N достаточно большим, можно добиться того, что
То есть
У меня такой вопрос: что в данном доказательсте делает его непригодным для случая, когда ряд не является абсолютно сходящимся
Все перестановки абсолютно сходящегося ряда сходятся к одной и той же сумме.
Доказательство:
Для любого положительного существует такое N, что для всех выполняется
Пусть ряд
получен из ряда
путем перестановки слагаемых
Возьмем число M таким, чтобы в сумму
Входили все члены, входящие в сумму
Запишем
Отсюда получим
С учетом того, что модуль суммы меньше или равен сумме модулей
или
Выбрав N достаточно большим, можно добиться того, что
То есть
У меня такой вопрос: что в данном доказательсте делает его непригодным для случая, когда ряд не является абсолютно сходящимся