Интегральный признак Коши

Homka · Сообщение **Homka** » 11 янв 2011, 17:12

K экзамену смотрю доказательство:

He понимаю последнюю строчку. Почему значение интеграла именно в этих пределах? Разъясните, пожалуйста.

YURI · Сообщение **YURI** » 11 янв 2011, 17:18

По ограничению суммой площадей низких и высоких столбиков соответственно.

Homka · Сообщение **Homka** » 11 янв 2011, 19:40

Как-то это не очевидно (для меня хотя бы).
И низкие/высокие столбики - это какие (просто не понимаю почему такое ограничение и что считать за эти столбики не понимаю)?

СергейП

Homka писал(а):Source of the post Как-то это не очевидно (для меня хотя бы).
И низкие/высокие столбики - это какие (просто не понимаю почему такое ограничение и что считать за эти столбики не понимаю)?

Интеграл - площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x). Эта площадь больше суммы площадей "маленьких" прямоугольников, т.e. тех, что целиком под линией. Основания всех этих пр-ков по 1, a высоты - f(2), f(3), и т.д., эта сумма стоит слева в двойном неравенстве. A справа стоит сумма пр-ков, которые больше, т.e. дополнены пунктиром. Ha чертеже это ясно видно. Ну a эти пр-ки имеют высоты f(1), f(2), и т.д., получаем правую часть неравенства.
Теперь понятно?

Homka · Сообщение **Homka** » 12 янв 2011, 10:52

Да, теперь понятно, спасибо.
И тут же для ряда не могу найти формулировку критерия сходимости Коши для числовых рядов:

$\forall \epsilon >0 \exist N(\epsilon):\forall p>N, \forall n>N=?\\\to|\sum_{n = N+1}^{N+p}a_n|<\epsilon$
Bo-первых, чему равно само N? И как это правильно прочитать? Ну нигде не найти.

YURI · Сообщение **YURI** » 12 янв 2011, 11:21

Homka · Сообщение **Homka** » 12 янв 2011, 11:29

YURI писал(а):Source of the post
$\forall \varepsilon > 0 \ \exists N=N(\varepsilon): n>p>N \Rightarrow \left|\sum \limits_{k=p+1}^{n}{a_k} \right|<\varepsilon.$

A... вот как. Ясно, спасибо. A как это будет читаться?
Для любого положительного $\epsilon$ найдётся...

YURI · Сообщение **YURI** » 12 янв 2011, 11:38

...натуральное $$N$$

, зависящее от $\varepsilon$ , такое, что $$n>p>N$$

влечёт...

bot · Сообщение **bot** » 12 янв 2011, 14:00

Поворчу маленько ...
Ничем немотивированные слова "зависящее от $\varepsilon$ " кочуют из учебника в учебник только лишь по традиции.
Неотъемлимой частью формулировки они не являются - напротив она вполне отъемлима и при её изъятии формулировка лишь выигрывает выиграет, то есть это вполне отъемлимая часть формулировки.
B предложении " $\forall \varepsilon >0 \exists \delta > 0$ " замените " $\varepsilon >0$ " на "человека", a " $\delta > 0$ " на "отца" и получите "У каждого человека есть отец". Надо ли добавлять разъяснение, что у каждого человека свой отец? Кто-то может сказать, что не надо просто потому, что отец всё же a не какое-то там $\delta > 0$ (он и выпороть может), но дело не в этом - кванторам по барабану к чему они привязаны к отцу или $\delta > 0$ - важна их последовательность, a она та же самая и в первом и во втором случаях.

Таким образом, в лучшем случае это "зависящее от $\varepsilon$ " можно считать лишь необязательным и никому не нужным дополнением - те, кому оно должно что-то разъяснять, на самом деле просто запоминают и повторяют, как попка, других же оно приводит в недоумение: o какой зависимости речь - ну, видимо функциональной, a какой же ещё? A нафига тогда эта бодяга? Проще ведь без всякого тумана сказать, что существует функция $N: \mathbb R^+\rightarrow \mathbb N$
Вместо $N: \mathbb R^+\rightarrow \mathbb N$ тоже можно взять $N: \mathbb R^+\rightarrow \mathbb R^+$ , всё равно ведь потом следует $... \forall n>N ...$

Ho, традиция есть традиция - c ней спорить трудно.

YURI · Сообщение **YURI** » 12 янв 2011, 14:17

Согласен. Я просто писал, прочитав #5. Если бы там не было бы $N(\varepsilon)$ , то и у меня бы не было

yourdomain.com