Страница 1 из 2
Функциональное уравнение
Добавлено: 06 сен 2009, 08:47
Harakternik
Помогите, пожалуйста, решить задачу.
Функция
(интегрируема по Риману на [0, 1]) удовлетворяет соотношению
причём
. Требуется определить f.
Подстановкой x = 0 и x = 1 можно определить, что
a x=1/2 - что
Дальше неясно.
Функциональное уравнение
Добавлено: 06 сен 2009, 17:26
Hottabych
вроде бы подходит
Функциональное уравнение
Добавлено: 06 сен 2009, 18:22
a_l_e_x86
Можно попробовать еще проинтегрировать обе части уравнения.
Например, проинтегрировав от 0 до 0.5 и сделав замену переменных, можно показать что
Функциональное уравнение
Добавлено: 07 сен 2009, 03:33
Ian
Harakternik писал(а):Source of the post Помогите, пожалуйста, решить задачу.
Функция
(интегрируема по Риману на [0, 1]) удовлетворяет соотношению
причём
. Требуется определить f.
Подстановкой x = 0 и x = 1 можно определить, что
a x=1/2 - что
Дальше неясно.
в чем узнается интегральная сумма для разбиения отрезка на 9 равных. Продолжая разбивать на 27,81 итд, в пределе получаем
Функциональное уравнение
Добавлено: 07 сен 2009, 08:03
Harakternik
Ian писал(а):Source of the post Harakternik писал(а):Source of the post Помогите, пожалуйста, решить задачу.
Функция
(интегрируема по Риману на [0, 1]) удовлетворяет соотношению
причём
. Требуется определить f.
Подстановкой x = 0 и x = 1 можно определить, что
a x=1/2 - что
Дальше неясно.
в чем узнается интегральная сумма для разбиения отрезка на 9 равных. Продолжая разбивать на 27,81 итд, в пределе получаем
При этом ведь нужно индукцией показать, что на каждом шаге получается интегральная сумма для разбиения отрезка на
равных частей, иначе предельный переход не будет законным.
Функциональное уравнение
Добавлено: 07 сен 2009, 08:25
Ian
Harakternik писал(а):Source of the post При этом ведь нужно индукцией показать, что на каждом шаге получается интегральная сумма для разбиения отрезка на
равных частей, иначе предельный переход не будет законным.
Да.Посмотрим как из множества аргументов левой части функ.уравнения получается множество аргументов правой части. Отрезок (0,1) вместе c множеством сжимается втрое и результат укладывается по (0,1) три раза. Операция перехода к в 3 раза более частому разбиению -эта же процедура.Значит на следующем шаге из интегральной суммы получается интегральная сумма.
Функциональное уравнение
Добавлено: 08 сен 2009, 08:08
alexy.74
Ian писал(а):Source of the post Harakternik писал(а):Source of the post Помогите, пожалуйста, решить задачу.
Функция
(интегрируема по Риману на [0, 1]) удовлетворяет соотношению
причём
. Требуется определить f.
Подстановкой x = 0 и x = 1 можно определить, что
a x=1/2 - что
Дальше неясно.
в чем узнается интегральная сумма для разбиения отрезка на 9 равных. Продолжая разбивать на 27,81 итд, в пределе получаем
Помоему, таким образом можно любую функцию приравнять к 1. A если попробовать преобразования Лапласа для сдвига функции по оси Х и масштабирования.
Функциональное уравнение
Добавлено: 08 сен 2009, 08:34
Ian
Зря Вы мне не верите. Интегральная сумма обязательно требует чтобы длина каждого интервала умножалась на значение функции где-то HA HEM и здесь по случайности стало доказуемо,что значения аргументов на n-м шаге ПО ОДНОМУ распределились на
интервалов. Способ обобщается на функциональные уравнения вида
p+q+r=1, но не более того
Функциональное уравнение
Добавлено: 08 сен 2009, 09:04
alexy.74
Ian писал(а):Source of the post Зря Вы мне не верите. Интегральная сумма обязательно требует чтобы длина каждого интервала умножалась на значение функции где-то HA HEM и здесь по случайности стало доказуемо,что значения аргументов на n-м шаге ПО ОДНОМУ распределились на
интервалов. Способ обобщается на функциональные уравнения вида
p+q+r=1, но не более того
Скажите ,где это можно найти в книгах?
Функциональное уравнение
Добавлено: 08 сен 2009, 10:12
Ian
Для меня самого загадка, есть ли книги широко рассматривающие функциональные уравнения.A про интегральные суммы,как и остальной матан, уважаю двухтомник Зорича (недавно скачал в Дежавю издание 2e но не могу найти ссылку. Нужна-еще поищу)