Интегралы.

Bujhm · Сообщение **Bujhm** » 04 сен 2007, 18:38

C обычным интегралом я довольно просто справляюсь, но вот c двойными и тройными проблемки, и исследование сложновато для меня.
Сходиться или рассходиться интеграл:
1) $\int_{0}^{1}{\frac {\sqrt{x}dx} {\sqrt{1-x} arcsinx}}$
в этом примере я сделал замену
$\sqrt{1-x}=t$

$$x=1-t^2$$

и получил:
$-2\int_{1}^{0}{\frac {\sqrt{1-t^2}dt} {arcsin(1-t^2)}}$
дальше ничего пока не придумал
2)Вычислить интеграл:
$\int_S\int{zdxdy}$
ограниченный поверхностью
$\frac {x^2} {a^2}+\frac {y^2} {b^2}+\frac {z^2} {c^2}=1$
Здесь как я понял просто выражаем z и подставляем в интеграл, только проблема в том что уравнение имеет два корня - и c расстановкой пределов непонятно.
3) A вот это задание вообще не знаю как делать???
Перейти к цилиндрическим координатам:
$\int_V\int\int{f(\sqrt{x^2+y^2+z^2)}dxdydz}$
ограниченый поверхностью V:
$$z=x^2+y^2$$

,

.

pchela9091 · Сообщение **pchela9091** » 04 сен 2007, 19:58

B первом задании интеграл сходится.
Объяснение. Разобъем его на два:
$\int_{0}^{1}=-\int_{\frac{1}{2}}^{0}+\int_{\frac{1}{2}}^{1}$ .
Проверяем условие сходимости для каждого интеграла:
$\lim_{x\right0}{\frac{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}\mbox{arcsin}x}}{\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{2}}}=1$ ,

$\lim_{x\right1}{\frac{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}\mbox{arcsin}x}}{\left(\frac{1}{1-x}\right)^{\frac{1}{2}}}=\frac{2}{\pi}$ .
Таким образом, подынтегральная функция при $x\right0$ и $x\right1$ представляет собой бесконечно большую большую величину порядка $\frac{1}{2}<1$ .
Следовательно, оба интеграла сходится => сходится и исходный интеграл.

pchela9091 · Сообщение **pchela9091** » 04 сен 2007, 20:32

Итак, третье задание.
Переход от цилиндрических координат к декартовым выглядит следующим образом:
$(*)\{{x=\rho\cos\phi, \\ y=\rho\sin\phi, \\ z=z.}$
Якобиан от переменных x,y,z по переменным $\rho,\phi,z$ равен $\rho$ .
Преобразования (*) переводят переводят область D в область V. Область D:
$z=\rho^2,z=0,\rho\cos\phi=\rho\sin\phi,\rho\cos\phi=1,\rho\sin\phi=0$ .
Сам интеграл будет иметь вид:
$\int_{D}{\int\int{\rho f(\sqrt{\rho^2+z^2})d\rho d\phi dz}}$ .

Bujhm · Сообщение **Bujhm** » 04 сен 2007, 20:36

pchela9091 · Сообщение **pchela9091** » 04 сен 2007, 21:15

Второе задание.
Двойной интеграл - это объем цилиндроида, ограниченного, как я понимаю, частью поверхности,
заданной данным уравнением. Ho это уравнение эллипсоида.
Его объем равен $\frac{4}{3}\pi abc$ , a область, по которой производится интегрирование,
получается пересечением плоскости z=0 и эллипсоида. Получаем две симметричные половинки (два
симметричных цилиндроида).
Поэтому двойной интеграл равен $\pm$ половине объема эллипсоида. Плюс/минус здесь
присутствуют из-за того, что не оговаривается для какой половинки считать интеграл.
Сформулируйте задание четче, a то приходится его додумывать. :blink:

Bujhm · Сообщение **Bujhm** » 04 сен 2007, 21:23

pchela9091 писал(а):Source of the post
Второе задание.
Двойной интеграл - это объем цилиндроида, ограниченного, как я понимаю, частью поверхности,
заданной данным уравнением. Ho это уравнение эллипсоида.
Его объем равен $\frac{4}{3}\pi abc$ , a область, по которой производится интегрирование,
получается пересечением плоскости z=0 и эллипсоида. Получаем две симметричные половинки (два
симметричных цилиндроида).
Поэтому двойной интеграл равен $\pm$ половине объема эллипсоида. Плюс/минус здесь
присутствуют из-за того, что не оговаривается для какой половинки считать интеграл.
Сформулируйте задание четче, a то приходится его додумывать.

Задание именно так и звучит в тексте как написано выше. Единственное - там написано было не поверхность a область.

pchela9091 · Сообщение **pchela9091** » 04 сен 2007, 21:38

Если уж придераться к тесту, то как можно объяснить фразу "интеграл ограничен областью"?

Bujhm · Сообщение **Bujhm** » 04 сен 2007, 21:52

pchela9091 писал(а):Source of the post
Если уж придераться к тесту, то как можно объяснить фразу "интеграл ограничен областью"?

Думаю так поточнее будет:
2)Вычислить интеграл:
$\int_S\int{zdxdy}$ , где S:
$\frac {x^2} {a^2}+\frac {y^2} {b^2}+\frac {z^2} {c^2}=1$

pchela9091 · Сообщение **pchela9091** » 04 сен 2007, 21:55

Bujhm писал(а):Source of the post
pchela9091 писал(а):Source of the post
Если уж придераться к тесту, то как можно объяснить фразу "интеграл ограничен областью"?

Думаю так поточнее будет:
2)Вычислить интеграл:
$\int_S\int{zdxdy}$ , где S:
$\frac {x^2} {a^2}+\frac {y^2} {b^2}+\frac {z^2} {c^2}=1$

Область S должна быть задана на плоскости z=0, a под интегралом должна быть функция от x и y.

Bujhm · Сообщение **Bujhm** » 04 сен 2007, 22:06

pchela9091 писал(а):Source of the post
Bujhm писал(а):Source of the post
pchela9091 писал(а):Source of the post
Если уж придераться к тесту, то как можно объяснить фразу "интеграл ограничен областью"?

Думаю так поточнее будет:
2)Вычислить интеграл:
$\int_S\int{zdxdy}$ , где S:
$\frac {x^2} {a^2}+\frac {y^2} {b^2}+\frac {z^2} {c^2}=1$

Область S должна быть задана на плоскости z=0, a под интегралом должна быть функция от x и y.

Вообще задание так и звучало как было изначально написано, когда решая его, я выразил z и подставил в интеграл, препод сказал что это правильно, единственное нужно было обьяснить почему в пределах у меня можно было брать 2 интеграла по одному из корней, на что я скромно промолчал. Теперь правда я ответ знаю - в силу симметричности. Вообщем это задание в принципе знаю как делать, просто хотел проверить правильно ли решено.
C формулировкой возможно что-то напутал - давно задание давали и всё вспоминал по памяти. :search:
За предыдущие задания огромное вам спасибо.

yourdomain.com