yourdomain.com

...непрерывную функцию достаточно определить в рациональных точках...
что это значит ?

M-да... Что-то c разбиениеями туго пошло...
Пусть даны необходимые разбиения множества действительных чисел. Требуется построить:

1) функцию, такую что в любой окрестности любой точки координатной плоскости содержится континуум точек графика этой функции;

2) функцию, которая содержит хотя бы по две общие точки c графиком любой непрерывной функции;

3) функцию, которая содержит хотя бы по счётному числу общих точек c графиком любой непрерывной функции;

4) функцию, которая содержит по КОНТИНУУМУ общих точек c графиком любой непрерывной функции.

Вот!

Я не об этом.
то, что непрерывную функцию достаточно определить в рациональных точках, означает, что
любые непрерывные функции совпадающие в рациональных точках тождественно равны:

${x \in Q \Rightarrow f(x) = g(x) \\ f \in C \\ g \in C} \Rightarrow f = g$

это неверно, значит я что то непонял...

Draeden писал(а):Source of the post
Я не об этом.
то, что непрерывную функцию достаточно определить в рациональных точках, означает, что
любые непрерывные функции совпадающие в рациональных точках тождественно равны:

${x \in Q \Rightarrow f(x) = g(x) \\ f \in C \\ g \in C} \Rightarrow f = g$

это неверно, значит я что то непонял...

Нет, вы всё верно поняли. У вас есть возможность привести контрпример???

Интересно, действительно я не могу придумать контрпример.
Как тогда доказать, что контрпримеров вообще нет ?

Draeden писал(а):Source of the post
Интересно, действительно я не могу придумать контрпример.
Как тогда доказать, что контрпримеров вообще нет ?

Ну уж...
Меня просто смутила ваша уверенность, c какой вы сказали, что это не так. Вообще, это вопрос к Поглотителю компакт-дисков (CD_Eater'у ), как автору этого заявления, но что-то он упорно на него не отвечает... Так что за него попытаюсь ответить я. Смотрите:

Если две непрерывные функции f(x) и g(x), определённые на множестве действительных чисел, совпадают в рациональных точках, то они совпадают во всех действительных точках.

Пусть это не так. Тогда
$\exists x_0 \in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\quad f(x_0) \ne g(x_0)$
Пусть
$$f(x_0 ) - g(x_0 ) > 0$$

Функция f(x) - g(x) является непрерывной. По одному из свойств непрерывных функций, очевидно, не требующему доказательства ( ), существует окрестность $(x_0 - \varepsilon ,x_0 + \varepsilon )$ , такая что
$\forall x \in (x_0 - \varepsilon ,x_0 + \varepsilon )\quad f(x) - g(x) > 0$
Тогда имеется целый континуум точек $(x_0 - \varepsilon ,x_0 + \varepsilon )$ , в которых
$f(x) \ne g(x)$ ,
среди которых, конечно же есть и рациональные точки. Противоречие c тем, что во всех рациональных точках функции f(x) и g(x) совпадают.

vladb314 писал(а):Source of the post 4) функцию, которая содержит по КОНТИНУУМУ общих точек c графиком любой непрерывной функции.

Способ построения следует из того, что квадрат континуума - это континуум.

CD_Eater писал(а):Source of the post
vladb314 писал(а):Source of the post 4) функцию, которая содержит по КОНТИНУУМУ общих точек c графиком любой непрерывной функции.

Способ построения следует из того, что квадрат континуума - это континуум.

Надеюсь, вас не затруднит написать поподробнее?

Нумеруем точки плоскости точками прямой
Ha плоскости горизонтальную ось нумеруем непрерывными функциями

CD_Eater писал(а):Source of the post
Нумеруем точки плоскости точками прямой
Ha плоскости горизонтальную ось нумеруем непрерывными функциями

Пожалуйста, ещё поподробнее.

yourdomain.com

Разрывные функции

Разрывные функции

Разрывные функции

Разрывные функции

Разрывные функции

Разрывные функции

Разрывные функции

Разрывные функции

Разрывные функции

Разрывные функции

Разрывные функции