Разрывные функции

Draeden · Сообщение **Draeden** » 04 фев 2008, 17:13

...непрерывную функцию достаточно определить в рациональных точках...
что это значит ?

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 04 фев 2008, 17:17

M-да... Что-то c разбиениеями туго пошло...
Пусть даны необходимые разбиения множества действительных чисел. Требуется построить:

1) функцию, такую что в любой окрестности любой точки координатной плоскости содержится континуум точек графика этой функции;

2) функцию, которая содержит хотя бы по две общие точки c графиком любой непрерывной функции;

3) функцию, которая содержит хотя бы по счётному числу общих точек c графиком любой непрерывной функции;

4) функцию, которая содержит по КОНТИНУУМУ общих точек c графиком любой непрерывной функции.

Вот!

Draeden · Сообщение **Draeden** » 04 фев 2008, 17:29

Я не об этом.
то, что непрерывную функцию достаточно определить в рациональных точках, означает, что
любые непрерывные функции совпадающие в рациональных точках тождественно равны:

${x \in Q \Rightarrow f(x) = g(x) \\ f \in C \\ g \in C} \Rightarrow f = g$

это неверно, значит я что то непонял...

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 04 фев 2008, 18:56

Draeden писал(а):Source of the post
Я не об этом.
то, что непрерывную функцию достаточно определить в рациональных точках, означает, что
любые непрерывные функции совпадающие в рациональных точках тождественно равны:

${x \in Q \Rightarrow f(x) = g(x) \\ f \in C \\ g \in C} \Rightarrow f = g$

это неверно, значит я что то непонял...

Нет, вы всё верно поняли. У вас есть возможность привести контрпример???

Draeden · Сообщение **Draeden** » 05 фев 2008, 05:56

Интересно, действительно я не могу придумать контрпример.
Как тогда доказать, что контрпримеров вообще нет ?

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 06 фев 2008, 17:41

Draeden писал(а):Source of the post
Интересно, действительно я не могу придумать контрпример.
Как тогда доказать, что контрпримеров вообще нет ?

Ну уж...
Меня просто смутила ваша уверенность, c какой вы сказали, что это не так. Вообще, это вопрос к Поглотителю компакт-дисков (CD_Eater'у ), как автору этого заявления, но что-то он упорно на него не отвечает... Так что за него попытаюсь ответить я. Смотрите:

Если две непрерывные функции f(x) и g(x), определённые на множестве действительных чисел, совпадают в рациональных точках, то они совпадают во всех действительных точках.

Пусть это не так. Тогда
$\exists x_0 \in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\quad f(x_0) \ne g(x_0)$
Пусть
$$f(x_0 ) - g(x_0 ) > 0$$

Функция f(x) - g(x) является непрерывной. По одному из свойств непрерывных функций, очевидно, не требующему доказательства ( ), существует окрестность $(x_0 - \varepsilon ,x_0 + \varepsilon )$ , такая что
$\forall x \in (x_0 - \varepsilon ,x_0 + \varepsilon )\quad f(x) - g(x) > 0$
Тогда имеется целый континуум точек $(x_0 - \varepsilon ,x_0 + \varepsilon )$ , в которых
$f(x) \ne g(x)$ ,
среди которых, конечно же есть и рациональные точки. Противоречие c тем, что во всех рациональных точках функции f(x) и g(x) совпадают.

CD_Eater · Сообщение **CD_Eater** » 07 фев 2008, 22:10

vladb314 писал(а):Source of the post 4) функцию, которая содержит по КОНТИНУУМУ общих точек c графиком любой непрерывной функции.

Способ построения следует из того, что квадрат континуума - это континуум.

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 08 фев 2008, 16:29

CD_Eater писал(а):Source of the post
vladb314 писал(а):Source of the post 4) функцию, которая содержит по КОНТИНУУМУ общих точек c графиком любой непрерывной функции.

Способ построения следует из того, что квадрат континуума - это континуум.

Надеюсь, вас не затруднит написать поподробнее?

CD_Eater · Сообщение **CD_Eater** » 08 фев 2008, 20:21

Нумеруем точки плоскости точками прямой
Ha плоскости горизонтальную ось нумеруем непрерывными функциями

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 09 фев 2008, 16:28

CD_Eater писал(а):Source of the post
Нумеруем точки плоскости точками прямой
Ha плоскости горизонтальную ось нумеруем непрерывными функциями

Пожалуйста, ещё поподробнее.

yourdomain.com