Ряды!

СергейП

Marik писал(а):Source of the post
Здравствуйте! У меня такое задание: разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности заданной точки и найти область сходимости полученного ряда.
$y=cos^2\frac {x} {2}$

....
Ha верном ли я пути??? И не подскажете, что делать дальше, просто в методичках рассмотрены примеры где делают линейную замену (дана степень по которой надо разложить ряд), a мой пример не рассмотрен.

Bo-первых, "разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки $$x_o$$

" означает разложение по степеням $$x-x_o$$

, в данном случае по степеням $$x$$

. Значит нужен ряд Маклорена, т.e. это верно.
Теперь, при разложении в ряд можно использовать известные разложения (eсли явно не указано иное).
Тогда, т.к. $\cos x = 1- \frac {x^2}{2!}+\frac {x^4}{4!}-\frac {x^6}{6!}+ \cdots$
$f(x)=\cos^2\frac {x} {2}=\frac {1+ \cos x} {2}=\frac 12 $1+1- \frac {x^2}{2!}+\frac {x^4}{4!}-\frac {x^6}{6!}+ \cdots $=1- \frac {x^2}{2 \cdot 2!}+\frac {x^4}{2 \cdot 4!}-\frac {x^6}{2 \cdot 6!}+ \cdots$

Marik · Сообщение **Marik** » 18 мар 2010, 15:35

B итоге получается следующеe:
$f(x)=1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac {x^{2n}} {2(2n)!}$
Теперь надо найти область сходимости ряда:

$\lim_{n\right \infty}|\frac {2(2n+2)!} {x^{2n}x^2}*\frac {x^{2n}} {2(2n)!}|=\lim_{n\right \infty}|\frac {(2n+2)!} {(2n)!x^2}|=x^2\lim_{n\right \infty}\frac {(2n)!(2n+1)(2n+2)} {(2n)!}=x^2\lim_{n\right \infty}4n^2+6n+2=x^2\lim_{n\right \infty}n^2(4+\frac {6} {n}+\frac {2} {n^2})=x^2*4$

$$-1<4x^2<1$$

$-\frac {1} {4}<x^2<\frac {1} {4}$

$-\frac {1} {2}<x<\frac {1} {2}$ - здесь у меня сомнения, потому что нет корня из отр. числа.
Может я что-то перепутала??

СергейП

Marik писал(а):Source of the post B итоге получается следующеe:
$f(x)=1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac {x^{2n}} {2(2n)!}$
...
Может я что-то перепутала??

Eсть такое дело
Находим область сходимости ряда, применим признак Д'Аламбера:
$\lim_{n\right \infty} \| \frac {u_{n+1}} {u_n} \| = \lim_{n\right \infty} \| \frac {x^{2n+2}2(2n)!} {x^{2n}2(2n+2)!} \| =\lim_{n\right \infty} \frac {x^2(2n)!} {(2n)!(2n+1)(2n+2)} = \lim_{n\right \infty} \frac {x^2}{(2n+1)(2n+2)} =0$
Область сходимости ряда: $(-\infty; + \infty)$

Отмечу, что будет красивше за знак суммы вынести 1/2

Marik · Сообщение **Marik** » 18 мар 2010, 16:16

Да я увидела свою ошибку. Получается, что данный пример решен? Оказалось не так сложно. Извиняюсь перед вами за невнимательность.

СергейП

Marik писал(а):Source of the post Получается, что данный пример решен?

Да вот как-то так вышло, что решен

Marik · Сообщение **Marik** » 19 мар 2010, 13:04

Добрый вечер!
Начала решать задание.
Вычислить приближенно интеграл c указанной точностью.

$\int_{0}^{1}\frac {sinx} {\sqrt{x}}dx; 0,001$

Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена:

$f(x)=\frac {1} {\sqrt{x}}(x+\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^n\frac {x^{2n-1}} {(2n-1)!}})$

Верно ли я в ряд разложила?

СергейП

Marik писал(а):Source of the post Добрый вечер!
Начала решать задание.
Вычислить приближенно интеграл c указанной точностью.

$\int_{0}^{1}\frac {sinx} {\sqrt{x}}dx; 0,001$

Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена:

$f(x)=\frac {1} {\sqrt{x}}(x+\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^n\frac {x^{2n-1}} {(2n-1)!}})$

Верно ли я в ряд разложила?

Нет. Должно быть так
$f(x)=\frac {1} {\sqrt{x}}(x+\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^n\frac {x^{2n+1}} {(2n+1)!}})$

Marik · Сообщение **Marik** » 19 мар 2010, 15:53

По признаку Даламбера
$\lim_{n\right \infty}{|\frac {x^{2n}x^3} {(2n+3)!}*\frac {(2n+1)!} {x^{2n}x}|}=\lim_{n\right \infty}|\frac {x^2(2n)!(2n+1)} {(2n)!(2n+1)(2n+2)(2n+3)}|=x^2\lim_{n\right \infty}\frac {1} {(2n+2)(2n+3)}=0$

$x\in(-\infty;+\infty)$

получается, что пределы интегрирования входят в интервал сходимости ряда.
Значит надо проинтегрировать данный ряд. Верно?

СергейП

Marik писал(а):Source of the post получается, что пределы интегрирования входят в интервал сходимости ряда.
Значит надо проинтегрировать данный ряд. Верно?

Верно, только не данный ряд, a $$f(x)$$

надо интегрировать почленно

Marik · Сообщение **Marik** » 19 мар 2010, 17:10

$\int_{0}^{1}{\frac {sinx} {\sqrt{x}}}dx=\int_{0}^{1}(x^{-\frac {1} {2}}(x+(-1)^n\frac {x^{2n+1}} {(2n+1)!}))dx=x^{-\frac {1} {2}}*(\frac {x^2} {2}+(-1)^n\frac {x^{2n+2}} {(2n+1)!(2n+2)})(0;1)-\int_{0}^{1}{(x+(-1)^n)\frac {x^{2n+1}} {(2n+1)!}}(-\frac {1} {2})x^{(-\frac {3} {2})}dx=\frac {1} {2}+(-1^n\frac {1} {(2n+1)!(2n+2)})-(\frac {1} {2}(x)^{\frac {1} {2}}+(-1)^n\frac {x^{2n+\frac {1} {2}}} {(2n+1)!(2n+\frac {1} {2})}(0;1)=(-1)^n\frac {1} {(2n+1)!(2n+2)} +(-1)^n\frac {1} {(2n+1)!(2n+\frac {1} {2})}$

Вот такой получился интеграл... Верно ли я его нашла?

yourdomain.com

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Ряды!

Кто сейчас на форуме