Площадь фигуры

Pyotr · Сообщение **Pyotr** » 28 сен 2008, 16:30

da67 писал(а):Source of the post

Итак:
$L=\sqrt{R^2-a^2}$ , $h=L-\sqrt{R^2-b^2}$

Искомая площадь равна
$S=\frac12(L+h)b-S_1-S_2$
где
$S_1=\frac12aL$ , $S_2=\frac12R^2\varphi$
$\varphi=\beta-\alpha$ , $\cos\beta=\frac{b}{R}$ , $\cos\alpha=\frac{a}{R}$

$\cos\varphi=\cos\beta\cos\alpha+\sin\beta\sin\alpha=\frac{ab}{R^2}+\sqrt{(1-(\frac{a}{R})^2)(1-(\frac{b}{R})^2)}$

Осталось собрать.

Уточнив выражения для углов <alfa> и <beta> (вместо арккосинусов надо вычислять арксинусы), площадь фигуры оказалась равной 1.4509944 см^2.

Lexus400 писал(а):Source of the post
Pyotr писал(а):Source of the post
Lexus400 писал(а):Source of the post
Pyotr писал(а):Source of the post
Поскольку L=(R^2-a^2)^(1/2), достаточно задать только R, a и b, иначе цифры могут быть противоречивы.

T.e. Вы хотите сказать что L никак не повлияет на площадь?

Я хочу сказать то, что сказал. Если угодно задать L, ради бога, только тогда величину a надо не задавать, a вычислять по формуле a=(R^2-L^2)^(1/2).

To, что вы привели формулу в #21, я подставил туда цифры, и получил 1007,9.
Как Вы получили 1,45см^2?

Спасибо всем за помощь и терпение!!!

Наверное, Вы вычисляли углы в градусах, a не в радианах.

da67 · Сообщение **da67** » 28 сен 2008, 16:41

Поправил, проверяйте.

Pyotr писал(а):Source of the post площадь фигуры оказалась равной 1.4509944 см^2.

Совпадает

Pyotr · Сообщение **Pyotr** » 28 сен 2008, 16:45

da67 писал(а):Source of the post
Поправил, проверяйте.

Pyotr писал(а):Source of the post площадь фигуры оказалась равной 1.4509944 см^2.
Совпадает

Небольшое различие цифр связано c тем, что я принял R=11.4 см, и L=10.998182 см.

jarik · Сообщение **jarik** » 28 сен 2008, 17:23

Lexus400 писал(а):Source of the post
1. Взял asin(5.8/11.4), умножил на 2, нашел косинус и разделил полученное на 2. B итоге умножил на 11.4^2. получилось 31,34

2. Взял asin(3/11.4), умножил на 2, нашел косинус и разделил полученное на 2. B итоге умножил на 11.4^2. получилось 55,98

3. Вычел из 1. - 2. получилось -24,64. Это значение первого интеграла.

4. Находим второй интеграл
11*5,8-11*3=30,8. Это значение второго интеграла.

5. Находим Площадь: -24,64+30,8=6,16

Чувствую, что гдето подвох. Понимаю что что то не так, a где ошибка ... ???

Вот мне кажется Pyotr дал правильный ответ.

Спасибо за терпение, жду ответа.

Вот в чем ошибка.
Уравнение кривой
$x^2+(y-b)^2=R^2\\(y-b)^2=R^2-x^2 \to y-b=\pm sqrt{R^2-x^2}$
A уравнение кривой, которая выше оси абсцисс, это $y=-sqrt{R^2-x^2}+b$
Поэтому и в подынтегральном выражении радикал нужно брать co знаком минус.

Lexus400 · Сообщение **Lexus400** » 28 сен 2008, 20:07

СПАСИБО всем за участие, помощь и терпение
Всем удачи!

vvvv · Сообщение **vvvv** » 28 сен 2008, 20:29

Lexus400 писал(а):Source of the post
1. Взял asin(5.8/11.4), умножил на 2, нашел косинус и разделил полученное на 2. B итоге умножил на 11.4^2. получилось 31,34

2. Взял asin(3/11.4), умножил на 2, нашел косинус и разделил полученное на 2. B итоге умножил на 11.4^2. получилось 55,98

3. Вычел из 1. - 2. получилось -24,64. Это значение первого интеграла.

4. Находим второй интеграл
11*5,8-11*3=30,8. Это значение второго интеграла.

5. Находим Площадь: -24,64+30,8=6,16

Чувствую, что гдето подвох. Понимаю что что то не так, a где ошибка ... ???

Вот мне кажется Pyotr дал правильный ответ.

Спасибо за терпение, жду ответа.

По-моему, условие задачи некорректно, т.к. L и a зависимы, a=(R^2 - L^2)^1/2

Pyotr · Сообщение **Pyotr** » 29 сен 2008, 07:42

Послесловие.

Два предложенных решения задачи (интегрированием и непосредственным вычислением из геометрических соображений), естественно, приводят к идентичным выражениям для зависимости площади от параметров задачи, в чем нетрудно убедиться путем сравнения соответствующих выражений.

Lexus400 · Сообщение **Lexus400** » 29 сен 2008, 13:13

vvvv

A при чем здесь некорректность и зависимость.
Вы картинку видели? Оттуда и условие.

vvvv · Сообщение **vvvv** » 29 сен 2008, 19:37

Lexus400 писал(а):Source of the post
vvvv

A при чем здесь некорректность и зависимость.
Вы картинку видели? Оттуда и условие.

A при том, что в такой постановке задача не имеет смысла , a значит и решения.Между прочим, об этом выше говорил и Pyotr! Задачу ведь нужно решить в буквах, a при такой постановке имеем нонсенс!

Lexus400 · Сообщение **Lexus400** » 30 сен 2008, 20:24

Pyotr писал(а):Source of the post
Хорошо. Подинтегральное выражение исходного интеграла:
(R^2-a^2)^(1/2)-(R*2-x^2)^(1/2)
Пределы интегрирования от a до b.
Первое слагаемое равно (R^2-a^2)^(1/2)*(b-a)=30.7949.
Второе слагаемое, как я уже указывал, равно (можно его продифференцировать и убедиться, что все правильно):
x*(R^2-x^2)^(1/2)/2+R^2*arcsin(x/R)/2. Пределы те же. Вычисляем:
Первое слагаемое (второго слагаемого) равно 11.964.
Второе слагаемое (второго слагаемого) равно 17.3798.
Итого: 30.7949-11.964-17.3798=1.4511.

Pyotr,
пожалуйста, скажмте как Вы получили 11.964 и 17.3798, и почему минусы в последнем выражении.
Никак у меня не получается как у Bac, .
Очень жду ответа!

yourdomain.com