Страница 3 из 11
Разрывные функции
Добавлено: 30 дек 2007, 21:42
Draeden
где
- иррациональные точки (ну не смог я набрать backslash, рааскажите как это сделать, если не трудно) кроме того
. Теперь найдём точки непрерывности:
это точки где функция непрерывна и, по видимому, это множество счётно. Насколько я прав ?
Разрывные функции
Добавлено: 30 дек 2007, 21:43
alexpro
vladb314 писал(а):Source of the post Еще предлагаю построить функцию, определённую на всей числовой оси и разрывную везде, кроме бесконечного счётного множетва точек, причем это счётное множество точек непрерывности таково, что
1) в него входит 0;
2) в любой окрестности 0 кроме 0 расположены еще точки непрерывности.
Таким образом, имеем 0 - точка непрерывности, a также
точка сгущения множетсва точек непрерывности!
Hac основании примера из предыдущего поста сделать это легко:
P.S. B математике в этом случае точка
называется точкой
накопления для множества всех непрерывных точек функции f.
Разрывные функции
Добавлено: 30 дек 2007, 22:15
vladb314
Draeden писал(а):Source of the post где
- иррациональные точки (ну не смог я набрать backslash, рааскажите как это сделать, если не трудно) кроме того
. Теперь найдём точки непрерывности:
это точки где функция непрерывна и, по видимому, это множество счётно. Насколько я прав ?
Да. Всё верно. Сравните c ответом alexander_pro
Вроде, backslash набирается в LaTeX'e как \backslash
alexpro писал(а):Source of the post P.S. B математике в этом случае точка
называется точкой
накопления для множества всех непрерывных точек функции f.
Это что-то потрясающее. Этот термин уже, оказывается имеет три синонима: у Г.M.Фихтенгольца он встречается как
точка сгущения, у И.П.Натансона как
предельная точка множества. Теперь еще и
точка накопления! :blink:
A если в любой окрестности данной точки содержится континуум точек данного множества, то эта точка называется
точкой конденсации.
Разрывные функции
Добавлено: 30 дек 2007, 22:17
Draeden
Спасибо за backslash, однако хотя хочу заметить, что мой ответ отличается от ответа alexander_pro принципиально
...просто он на несколько секунд раньше сообразил :washere:
Разрывные функции
Добавлено: 30 дек 2007, 22:33
vladb314
Похоже, мне удалось доказать, что такой интересной функции не существует. Жаль, жаль...
Более точно, имеет место следующий факт.
Пусть множество действительных чисел
разбито на два непересекающихся плотных подмножетсва R1 и R2:
1)
и
;
2)
.
Тогда если функция
терпит разрыв в каждой точке множества R1, то она терпит разрыв и в каждой точке множества R2.
P.S. Из разрывности на множестве R2 не следует разрывность на множестве R1. Контрпример был приведён выше.
Разрывные функции
Добавлено: 30 дек 2007, 22:47
vladb314
Наконец, предлагаю построить еще одну "сверх"-разрывную функцию. Функцию, график которой плотно заполняет всю координатную плоскость! To есть, в любой окрестности любой точки координатной плоскости будут содержаться точки графика этой функции:
Разрывные функции
Добавлено: 30 дек 2007, 22:48
Draeden
хммм... нельзя ли поподробнее, почему если функция разрывна во всех иррациональных точках, то она разрывна и во всех рациональных ?
Разрывные функции
Добавлено: 31 дек 2007, 21:17
Draeden
...про сверхразрывную функцию: допустим для каждого числа эта функция вычисляет бесконечное произведение синусов от цифр которые содержатся в десятичной записи этого числа
Разрывные функции
Добавлено: 01 янв 2008, 18:18
vladb314
Draeden писал(а):Source of the post ...про сверхразрывную функцию: допустим для каждого числа эта функция вычисляет бесконечное произведение синусов от цифр которые содержатся в десятичной записи этого числа
Смею сказать, что при этом
Разрывные функции
Добавлено: 01 янв 2008, 22:49
vladb314
Draeden писал(а):Source of the post хммм... нельзя ли поподробнее, почему если функция разрывна во всех иррациональных точках, то она разрывна и во всех рациональных ?
B ходе доказательства я наткнулся еще на две функции:
1) функция, непрерывная в иррациональных точках и разрывная в рациональных точках и неорганиченная;
2) функция, непрерывная в иррациональных точках и разрывная в рациональных точках и неорганиченная в окрестности некоторой (одной) рациональной точки.
Для начала предлагаю построить их.