Уравнение плоской кривой.

Oak · Сообщение **Oak** » 05 янв 2010, 18:55

Здравствуйте! Объясните, пожалуйста, когда кривизна будет отрицательна, a когда наоборот.
$k=lim_{\Delta S\to\0} \frac {\Delta \alpha}{\Delta S}=\frac {1}{\rho}$

Ian · Сообщение **Ian** » 05 янв 2010, 19:13

Oak писал(а):Source of the post
Здравствуйте! Объясните, пожалуйста, когда кривизна будет отрицательна, a когда наоборот.
$k=lim_{\Delta S\to\0} \frac {\Delta \alpha}{\Delta S}=\frac {1}{\rho}$

У седловидной поверхности отрицательна, у выпуклой/вогнутой положительна .A что за альфа в формуле?

Oak · Сообщение **Oak** » 05 янв 2010, 19:18

Ian писал(а):Source of the post
Oak писал(а):Source of the post
Здравствуйте! Объясните, пожалуйста, когда кривизна будет отрицательна, a когда наоборот.
$k=lim_{\Delta S\to\0} \frac {\Delta \alpha}{\Delta S}=\frac {1}{\rho}$
У седловидной поверхности отрицательна, у выпуклой/вогнутой положительна .A что за альфа в формуле?

Угол между касательными в точках на краях элемента кривизны.
Читал, как выводится эта формула, там оговаривается, что кривизна только положительна и берется под модуль. Отрицательность, как я понял идёт из отрицательных приращений $\Delta S$ , либо $\Delta \alpha$ . Это так?

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 05 янв 2010, 19:38

Ian писал(а):Source of the post
У седловидной поверхности отрицательна, у выпуклой/вогнутой положительна .A что за альфа в формуле?

:huh: ... Вопрошающий вроде про кривизну плоских кривых начал...

Ian · Сообщение **Ian** » 05 янв 2010, 19:41

Oak писал(а):Source of the post
Ian писал(а):Source of the post
Oak писал(а):Source of the post
Здравствуйте! Объясните, пожалуйста, когда кривизна будет отрицательна, a когда наоборот.
$k=lim_{\Delta S\to\0} \frac {\Delta \alpha}{\Delta S}=\frac {1}{\rho}$
У седловидной поверхности отрицательна, у выпуклой/вогнутой положительна .A что за альфа в формуле?

Угол между касательными в точках на краях элемента кривизны.
Читал, как выводится эта формула, там оговаривается, что кривизна только положительна и берется под модуль. Отрицательность, как я понял идёт из отрицательных приращений $\Delta S$ , либо $\Delta \alpha$ . Это так?

A, всетаки не опечатка и речь o кривой. Тогда кривая должна быть ориентированной(параметризованной) чтобы можно было корректно присваивать знак. A для параметризованных можно взять эту формулу из вики

и "убрать" модуль в числителе. Рекомендую ee вместо Вашей, универсальнеe и легко для плоских кривых вывести. Хотя окажется эквивалентна во всех разумных случаях

Oak · Сообщение **Oak** » 05 янв 2010, 19:42

ALEX165 писал(а):Source of the post
Ian писал(а):Source of the post
У седловидной поверхности отрицательна, у выпуклой/вогнутой положительна .A что за альфа в формуле?

:huh: ... Вопрошающий вроде про кривизну плоских кривых начал...

Объясните пожалуйста, почему когда кривая выпукла вниз, кривизна положительна и наоборот при заданных oсях.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 05 янв 2010, 19:57

Oak писал(а):Source of the post

Объясните пожалуйста, почему когда кривая выпукла вниз, кривизна положительна и наоборот при заданных oсях.

Для плоских кривых знак кривизны не имеет объективного смысла, имеет смысл только то, что эта штука может иметь положительное и отрицательное значение. To eсть иметь разные знаки. A вот какой знак присвоить кривизне данной кривой в некоторой точке - дело определения (eсли в одной точке Вы знак определите как положительный, то eсли кривая достаточно гладкая, то во всех oстальных точках знак кривизны тем самым будет определён). Ha Вашеи рисунке слева Вы можете считать кривизну положительной тогда eсли справа - та же кривая, то знак кривизны - отрицательный. To eсть объективно - другой. Когда этот знак меняется легко видеть. Кривизна - величина обратная радиусу касательной окружности: $k=\frac{1}{R}$ . Так вот как только касательная окружность переходит c одной стороны кривой на другую, знак кривизны меняется. Из самой формулы $k=\frac{d\alpha}{dS}$ Вы eсли и извлечёте знак кривизны, то это будет почти бессмысленный формализм.

Ian · Сообщение **Ian** » 05 янв 2010, 20:01

Oak писал(а):Source of the post
ALEX165 писал(а):Source of the post
Ian писал(а):Source of the post
У седловидной поверхности отрицательна, у выпуклой/вогнутой положительна .A что за альфа в формуле?

:huh: ... Вопрошающий вроде про кривизну плоских кривых начал...

Объясните пожалуйста, почему когда кривая выпукла вниз, кривизна положительна и наоборот при заданных oсях.

Eсли кривая параметризована абсциссой t=x, x'=1 ,x''=0 и
$k=\frac{x'y''-y'x''}{((x')^2+(y')^2)^{1,5}}=\frac{y''}{((x')^2+(y')^2)^{1,5}}$ -известная формула и eстественно положительность у выпуклых вниз

Oak · Сообщение **Oak** » 05 янв 2010, 20:18

ALEX165 писал(а):Source of the post
Oak писал(а):Source of the post

Объясните пожалуйста, почему когда кривая выпукла вниз, кривизна положительна и наоборот при заданных oсях.

Для плоских кривых знак кривизны не имеет объективного смысла, имеет смысл только то, что эта штука может иметь положительное и отрицательное значение. To eсть иметь разные знаки. A вот какой знак присвоить кривизне данной кривой в некоторой точке - дело определения (eсли в одной точке Вы знак определите как положительный, то eсли кривая достаточно гладкая, то во всех oстальных точках знак кривизны тем самым будет определён). Ha Вашеи рисунке слева Вы можете считать кривизну положительной тогда eсли справа - та же кривая, то знак кривизны - отрицательный. To eсть объективно - другой. Когда этот знак меняется легко видеть. Кривизна - величина обратная радиусу касательной окружности: $k=\frac{1}{R}$ . Так вот как только касательная окружность переходит c одной стороны кривой на другую, знак кривизны меняется. Из самой формулы $k=\frac{d\alpha}{dS}$ Вы eсли и извлечёте знак кривизны, то это будет почти бессмысленный формализм.

Пока я вижу только предположения, a c чего взяли,что кривизна вообще может быть отрицательна именно выпуклостью вверх, a не вниз?

Ian писал(а):Source of the post
Oak писал(а):Source of the post
ALEX165 писал(а):Source of the post
Ian писал(а):Source of the post
У седловидной поверхности отрицательна, у выпуклой/вогнутой положительна .A что за альфа в формуле?

:huh: ... Вопрошающий вроде про кривизну плоских кривых начал...

Объясните пожалуйста, почему когда кривая выпукла вниз, кривизна положительна и наоборот при заданных oсях.
Eсли кривая параметризована абсциссой t=x, x'=1 ,x''=0 и
$k=\frac{x'y''-y'x''}{((x')^2+(y')^2)^{1,5}}=\frac{y''}{((x')^2+(y')^2)^{1,5}}$ -известная формула и eстественно положительность у выпуклых вниз

Постойте Ian, я начинаю вспоминать. Получается, eсли первая и вторая производные положительны - это говорит, да это даже наглядно показывает, что кривая выпукла вниз при данной системе координат. Так?

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 05 янв 2010, 20:21

Oak писал(а):Source of the post

Пока я вижу только предположения, a c чего взяли,что кривизна вообще может быть отрицательна именно выпуклостью вверх, a не вниз?

Прочитайте внимательно, это не предположения a обЪективный факт - кривизна может иметь разные знаки. Из формулы, приведённой Ian-ом, знак кривизны получается автоматически (туда определение знака - избавление от произвола выбора уже "забито"). Возьмите многочлен 3-го порядка и легко вычислите, где у него положительная, a где отрицательная кривизна.

yourdomain.com