Физические приложения к двойному интегралу. Момент инерции

Ezekiel · Сообщение **Ezekiel** » 05 дек 2009, 13:55

Здравствуйте!
Дана область D: { $\qquad x^2+y^2 \leq 2y , \qquad y\geq3/2$ }
Найти момент инерции плоской однородной пластинки относительно оси OX.
Переходя к полярным координатам, получаем интеграл: $\int \int_{D} \rho^3\sin^2\phi d\rho d\phi$
Пределы интегрирования по $\rho: \in \qquad 3/4 \qquad to \qquad \2\sin\phi$
Пределы интегрирования по $\phi: \in \qquad 0 \qquad to \qquad \pi$
Трудности вызывает переход к полярным координатам. Ответ получается слишком большой. Помогите пожалуйста!

Ian · Сообщение **Ian** » 05 дек 2009, 15:04

Ezekiel писал(а):Source of the post
Здравствуйте!
Дана область D: { $\qquad x^2+y^2 \leq 2y , \qquad y\geq3/2$ }
Найти момент инерции плоской однородной пластинки относительно оси OX.
...
Пределы интегрирования по $\rho: \in \qquad 3/4 \qquad to \qquad \2\sin\phi$
Пределы интегрирования по $\phi: \in \qquad 0 \qquad to \qquad \pi$
Трудности вызывает переход к полярным координатам. Ответ получается слишком большой.

Я проверил-в полярных попроще,чем в декартовых. Ho откуда пределы такие? По порядку: где центр пол.координат? И по какой формуле считать тогда квадрат расстояния от точки до ОХ?

path · Сообщение **path** » 05 дек 2009, 15:10

A есть ли смысл в переходе к полярной системе координат? He проще ли остаться в декартовой и вычислить искомое значение посредством вот этого интеграла:
$J_{yy} = 2 \int \limits_{0}^{\sqrt{3}/2} dx \int \limits_{3/2}^{1 + \sqrt{1-x^{2}}} y^{2} dy$ ?

Упс, уважаемый Ian уже ответил на мой вопрос.

Pyotr · Сообщение **Pyotr** » 05 дек 2009, 15:14

Удобнее расположить центр полярной системы координат в центре круга, тогда интеграл запишется так:
$\int \int_{D} \rho(\rho\sin{\phi}+1)^2 d\rho d\phi$
Пределы интегрирования по $\rho: \in \qquad 1/2 \qquad to \qquad 1$
Пределы интегрирования по $\phi: \in \qquad \arcsin(0.5/\rho) \qquad to \qquad \pi-\arcsin(0.5/\rho)$

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 05 дек 2009, 15:29

Или: $J=2\int\limits_{3/2}^2 y^2\sqrt{1-(y-1)^2}dy$

Ezekiel · Сообщение **Ezekiel** » 05 дек 2009, 16:09

Pyotr писал(а):Source of the post
Удобнее расположить центр полярной системы координат в центре круга, тогда интеграл запишется так:
$\int \int_{D} \rho(\rho\sin{\phi}+1)^2 d\rho d\phi$
Пределы интегрирования по $\rho: \in \qquad 1/2 \qquad to \qquad 1$
Пределы интегрирования по $\phi: \in \qquad \arcsin(0.5/\rho) \qquad to \qquad \pi-\arcsin(0.5/\rho)$

Мне неочень понятно как вы получили такие пределы? Объясните пожалуйста.

Спасибо всем за ответы! Дело в том, что в задании надо решить используя полярные координаты.

Pyotr · Сообщение **Pyotr** » 05 дек 2009, 16:27

Ezekiel писал(а):Source of the post
Pyotr писал(а):Source of the post
Удобнее расположить центр полярной системы координат в центре круга, тогда интеграл запишется так:
$\int \int_{D} \rho(\rho\sin{\phi}+1)^2 d\rho d\phi$
Пределы интегрирования по $\rho: \in \qquad 1/2 \qquad to \qquad 1$
Пределы интегрирования по $\phi: \in \qquad \arcsin(0.5/\rho) \qquad to \qquad \pi-\arcsin(0.5/\rho)$

Мне неочень понятно как вы получили такие пределы? Объясните пожалуйста.

Спасибо всем за ответы! Дело в том, что в задании надо решить используя полярные координаты.

При расположении центра полярной системы координат в центре круга Вы имеете дело c сегментом круга, что определяет пределы по $\rho$ от 0.5 до 1. Разбейте мысленно всю фигуру концентрическими окружностями c небольшим шагом по радиусу. Эти окружности пересекают хорду сегмента при некотором угле, зависящем от величины радиуса по приведенной формуле. B силу симметрии задачи верхний предел можно выбрать равным $\pi/2$ , a интеграл удвоить.

Ian · Сообщение **Ian** » 05 дек 2009, 16:56

Pyotr правильно дает пределы,но
при перемене порядка интегрирования $\frac{\pi}{6} \leq \phi \leq \frac{5\pi}{6}$ , $\frac{1}{2sin {\phi}}\leq \rho \leq 1$

yourdomain.com