Разрывные функции

Draeden · Сообщение **Draeden** » 14 янв 2008, 18:15

я бы вопрос сформулировал даже так: можно ли разбить произвольный плотный континуум на два плотных континуума.

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 14 янв 2008, 20:41

Вообще, для функции из сообщения #53 нужно счётное число непересекающихся всюду плотных континуумов, дающих в объединении множество действительных чисел. Мне кажется, подобрать такое разбиение легче, чем найти функцию, которая разбивает произвольный плотный континуум на два плотных континуума.

Множество действительных чисел имеет разбиение на два всюду плотных множетсва. Два очевидных примера: на рациональные и иррациональные, и на алгебраические и трансцендентные.
Кто-нибудь сможет предложить разбиение множества действительных чисел на три попарно непересекающихся всюду плотных подмножества?

Draeden · Сообщение **Draeden** » 14 янв 2008, 20:48

т.e. континуума ?

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 14 янв 2008, 20:58

Draeden писал(а):Source of the post
т.e. континуума ?

He обязательно. Можно счётного.

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 16 янв 2008, 23:04

Повторяю вопрос.
Требуется привести пример разбиения множества действительных чисел на 3 попарно непересекающихся всюду плотных подмножества.

Draeden · Сообщение **Draeden** » 17 янв 2008, 13:22

1. Разбить все числа на рациональные и иррациональные
2. Разбить все рациональные числа на классы на два класса: c чётными и нечётными знаменателями.

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 17 янв 2008, 14:02

Draeden писал(а):Source of the post
1. Разбить все числа на рациональные и иррациональные
2. Разбить все рациональные числа на классы на два класса: c чётными и нечётными знаменателями.

Вы докажите, что оба множества в пункте 2 будут всюду плотными?

Draeden · Сообщение **Draeden** » 17 янв 2008, 14:15

Достаточно доказать, что дроби c чётными и нечётными знаменателями - плотные множества.
Возьмём дробь $\frac{p}{q}$ где $$ q $$

- чётное число.
Можно найти сходящуюся последовательность нечётных дробей:

$\frac{a_n}{b_n} \to \frac{p}{q}$

ведь достаточно, чтобы $$ b_n $$

было нечётным, a $$ a_n $$

можно сформировать.

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 17 янв 2008, 20:31

Хорошо. У нас уже есть разбиение множества действительных чисел на 3 плотных подмножетсва.

Далее, можно ли разбить на 4?

Draeden · Сообщение **Draeden** » 17 янв 2008, 21:59

Конечно, то же метод: поделить все числа на рациональные и иррациональные, a рациональные разбить на $$ m $$

классов, причём несократимые дроби $\frac{p_1}{q_1}$ и $\frac{p_2}{q_2}$ относятся к одному классу, если

$q_1 \equiv q2 (mod(m))$

Это позволяет разбить действительные числа на конечное число плотных множеств, причём одно из них будет континуумом, a остальные - счётными множествами.

Однако, как разбить действительные числа на два плотных континуума так, чтобы на любом интервале количество точек от каждого множества составляло континуум, остаётся открытым.

yourdomain.com