Разрывные функции
Разрывные функции
где - иррациональные точки (ну не смог я набрать backslash, рааскажите как это сделать, если не трудно) кроме того . Теперь найдём точки непрерывности:
это точки где функция непрерывна и, по видимому, это множество счётно. Насколько я прав ?
Последний раз редактировалось Draeden 30 ноя 2019, 11:10, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Разрывные функции
vladb314 писал(а):Source of the post
Еще предлагаю построить функцию, определённую на всей числовой оси и разрывную везде, кроме бесконечного счётного множетва точек, причем это счётное множество точек непрерывности таково, что
1) в него входит 0;
2) в любой окрестности 0 кроме 0 расположены еще точки непрерывности.
Таким образом, имеем 0 - точка непрерывности, a также точка сгущения множетсва точек непрерывности!
Hac основании примера из предыдущего поста сделать это легко:
P.S. B математике в этом случае точка называется точкой накопления для множества всех непрерывных точек функции f.
Последний раз редактировалось alexpro 30 ноя 2019, 11:10, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Разрывные функции
Draeden писал(а):Source of the post
где - иррациональные точки (ну не смог я набрать backslash, рааскажите как это сделать, если не трудно) кроме того . Теперь найдём точки непрерывности:
это точки где функция непрерывна и, по видимому, это множество счётно. Насколько я прав ?
Да. Всё верно. Сравните c ответом alexander_pro
Вроде, backslash набирается в LaTeX'e как \backslash
alexpro писал(а):Source of the post
P.S. B математике в этом случае точка называется точкой накопления для множества всех непрерывных точек функции f.
Это что-то потрясающее. Этот термин уже, оказывается имеет три синонима: у Г.M.Фихтенгольца он встречается как точка сгущения, у И.П.Натансона как предельная точка множества. Теперь еще и точка накопления! :blink:
A если в любой окрестности данной точки содержится континуум точек данного множества, то эта точка называется точкой конденсации.
Последний раз редактировалось vladb314 30 ноя 2019, 11:10, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Разрывные функции
Спасибо за backslash, однако хотя хочу заметить, что мой ответ отличается от ответа alexander_pro принципиально
...просто он на несколько секунд раньше сообразил :washere:
...просто он на несколько секунд раньше сообразил :washere:
Последний раз редактировалось Draeden 30 ноя 2019, 11:10, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Разрывные функции
Draeden писал(а):Source of the post
A вот как сделать функцию непрерывной во всех рациональных точках - вопрос посложнее...
Похоже, мне удалось доказать, что такой интересной функции не существует. Жаль, жаль...
Более точно, имеет место следующий факт.
Пусть множество действительных чисел разбито на два непересекающихся плотных подмножетсва R1 и R2:
1) и ;
2) .
Тогда если функция терпит разрыв в каждой точке множества R1, то она терпит разрыв и в каждой точке множества R2.
P.S. Из разрывности на множестве R2 не следует разрывность на множестве R1. Контрпример был приведён выше.
Последний раз редактировалось vladb314 30 ноя 2019, 11:10, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Разрывные функции
Наконец, предлагаю построить еще одну "сверх"-разрывную функцию. Функцию, график которой плотно заполняет всю координатную плоскость! To есть, в любой окрестности любой точки координатной плоскости будут содержаться точки графика этой функции:
Последний раз редактировалось vladb314 30 ноя 2019, 11:10, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Разрывные функции
хммм... нельзя ли поподробнее, почему если функция разрывна во всех иррациональных точках, то она разрывна и во всех рациональных ?
Последний раз редактировалось Draeden 30 ноя 2019, 11:10, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Разрывные функции
...про сверхразрывную функцию: допустим для каждого числа эта функция вычисляет бесконечное произведение синусов от цифр которые содержатся в десятичной записи этого числа
Последний раз редактировалось Draeden 30 ноя 2019, 11:10, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Разрывные функции
Draeden писал(а):Source of the post
...про сверхразрывную функцию: допустим для каждого числа эта функция вычисляет бесконечное произведение синусов от цифр которые содержатся в десятичной записи этого числа
Смею сказать, что при этом
Последний раз редактировалось vladb314 30 ноя 2019, 11:10, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Разрывные функции
Draeden писал(а):Source of the post
хммм... нельзя ли поподробнее, почему если функция разрывна во всех иррациональных точках, то она разрывна и во всех рациональных ?
B ходе доказательства я наткнулся еще на две функции:
1) функция, непрерывная в иррациональных точках и разрывная в рациональных точках и неорганиченная;
2) функция, непрерывная в иррациональных точках и разрывная в рациональных точках и неорганиченная в окрестности некоторой (одной) рациональной точки.
Для начала предлагаю построить их.
Последний раз редактировалось vladb314 30 ноя 2019, 11:10, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Вернуться в «Математический анализ»
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 6 гостей