Разрывные функции

Draeden · Сообщение **Draeden** » 30 дек 2007, 21:42

$f(x) = \{{ 0, x \in F \\ x^2 \sin \frac{1}{x}, x \in Q }$

где $$ F $$

- иррациональные точки (ну не смог я набрать backslash, рааскажите как это сделать, если не трудно) кроме того $$ f(0) = 0 $$

. Теперь найдём точки непрерывности:

$\sin\frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{x} = \pi k \Leftrightarrow x = \frac{1}{\pi k}$

это точки где функция непрерывна и, по видимому, это множество счётно. Насколько я прав ?

alexpro · Сообщение **alexpro** » 30 дек 2007, 21:43

vladb314 писал(а):Source of the post
Еще предлагаю построить функцию, определённую на всей числовой оси и разрывную везде, кроме бесконечного счётного множетва точек, причем это счётное множество точек непрерывности таково, что
1) в него входит 0;
2) в любой окрестности 0 кроме 0 расположены еще точки непрерывности.
Таким образом, имеем 0 - точка непрерывности, a также точка сгущения множетсва точек непрерывности!

Hac основании примера из предыдущего поста сделать это легко:

$f(x) = \left\{ 0,\,\quad x \in (\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q} ) \cup\{0\} \\ x\cdot\sin (\pi/ x),\quad x \in \mathbb{Q}\backslash\{0\} \\ \right$

P.S. B математике в этом случае точка $\{0\}$ называется точкой накопления для множества всех непрерывных точек функции f.

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 30 дек 2007, 22:15

Draeden писал(а):Source of the post
$f(x) = \{{ 0, x \in F \\ x^2 \sin \frac{1}{x}, x \in Q }$

где - иррациональные точки (ну не смог я набрать backslash, рааскажите как это сделать, если не трудно) кроме того . Теперь найдём точки непрерывности:

$\sin\frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{x} = \pi k \Leftrightarrow x = \frac{1}{\pi k}$

это точки где функция непрерывна и, по видимому, это множество счётно. Насколько я прав ?

Да. Всё верно. Сравните c ответом alexander_pro
Вроде, backslash набирается в LaTeX'e как \backslash

alexpro писал(а):Source of the post
P.S. B математике в этом случае точка $\{0\}$ называется точкой накопления для множества всех непрерывных точек функции f.

Это что-то потрясающее. Этот термин уже, оказывается имеет три синонима: у Г.M.Фихтенгольца он встречается как точка сгущения, у И.П.Натансона как предельная точка множества. Теперь еще и точка накопления! :blink:
A если в любой окрестности данной точки содержится континуум точек данного множества, то эта точка называется точкой конденсации.

Draeden · Сообщение **Draeden** » 30 дек 2007, 22:17

Спасибо за backslash, однако хотя хочу заметить, что мой ответ отличается от ответа alexander_pro принципиально
...просто он на несколько секунд раньше сообразил :washere:

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 30 дек 2007, 22:33

Draeden писал(а):Source of the post
A вот как сделать функцию непрерывной во всех рациональных точках - вопрос посложнее...

Похоже, мне удалось доказать, что такой интересной функции не существует. Жаль, жаль...
Более точно, имеет место следующий факт.

Пусть множество действительных чисел $\mathbb{R}$ разбито на два непересекающихся плотных подмножетсва R1 и R2:
1) $\left| {R_1 } \right| = \aleph _1$ и $\left| {R_2 } \right| = \aleph _0$ ;
2) $\forall (a,b) \subset \mathbb{R}\,\,\left( {\exists x_1 \in R_1 \,\,x_1 \in (a,b)} \right) \wedge \left( {\exists x_2 \in R_2 \,\,x_2 \in (a,b)} \right)\,\,$ .
Тогда если функция $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ терпит разрыв в каждой точке множества R1, то она терпит разрыв и в каждой точке множества R2.

P.S. Из разрывности на множестве R2 не следует разрывность на множестве R1. Контрпример был приведён выше.

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 30 дек 2007, 22:47

Наконец, предлагаю построить еще одну "сверх"-разрывную функцию. Функцию, график которой плотно заполняет всю координатную плоскость! To есть, в любой окрестности любой точки координатной плоскости будут содержаться точки графика этой функции:
$\forall \left\langle {x,y} \right\rangle \in \mathbb{R}^2 \,\,\forall r > 0\,\,\exists x_0 \in \mathbb{R}\quad \left( {x_0 - x} \right)^2 + \left( {f\left( {x_0 } \right) - y} \right)^2 \leq r^2$

Draeden · Сообщение **Draeden** » 30 дек 2007, 22:48

хммм... нельзя ли поподробнее, почему если функция разрывна во всех иррациональных точках, то она разрывна и во всех рациональных ?

Draeden · Сообщение **Draeden** » 31 дек 2007, 21:17

...про сверхразрывную функцию: допустим для каждого числа эта функция вычисляет бесконечное произведение синусов от цифр которые содержатся в десятичной записи этого числа

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 01 янв 2008, 18:18

Draeden писал(а):Source of the post
...про сверхразрывную функцию: допустим для каждого числа эта функция вычисляет бесконечное произведение синусов от цифр которые содержатся в десятичной записи этого числа

Смею сказать, что при этом $f(x) \equiv 0$

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 01 янв 2008, 22:49

Draeden писал(а):Source of the post
хммм... нельзя ли поподробнее, почему если функция разрывна во всех иррациональных точках, то она разрывна и во всех рациональных ?

B ходе доказательства я наткнулся еще на две функции:
1) функция, непрерывная в иррациональных точках и разрывная в рациональных точках и неорганиченная;
2) функция, непрерывная в иррациональных точках и разрывная в рациональных точках и неорганиченная в окрестности некоторой (одной) рациональной точки.
Для начала предлагаю построить их.

yourdomain.com