дифференцирование интеграла по параметру

Гость · Сообщение **Гость** » 11 дек 2013, 17:48

Пожалуйста, помогите вычислить интеграл, или объясните принцип по которому это можно сделать:

$\int_{0}^{\infty}{(e^{-a/x^2}-e^{-b/x^2})dx}$ , a>0, b>0

walkrunm · Сообщение **walkrunm** » 11 дек 2013, 18:00

Metford · Сообщение **Metford** » 11 дек 2013, 18:52

Гость писал(а):Source of the post
Пожалуйста, помогите вычислить интеграл, или объясните принцип по которому это можно сделать:

$\int_{0}^{\infty}{(e^{-a/x^2}-e^{-b/x^2})dx}$ , a>0, b>0

Можно разбить этот интеграл на два слагаемых, они получатся одинаковыми с точностью до параметра в экспоненте. Рассматриваем только одно из них. Можно продифференцировать интеграл по параметру и сделать в производной подстановку
$y=\frac{1}{x}$
Тогда интеграл возьмётся. Проинтегрировав его по параметру, получите с точностью до константы искомое значение. А в исходный интеграл входит разность двух найденных интегралов - константа интегрирования сократится.

zykov · Сообщение **zykov** » 11 дек 2013, 18:57

Metford писал(а):Source of the post Можно разбить этот интеграл на два слагаемых...

Нельзя.
Они расходятся на бесконечности.

Metford · Сообщение **Metford** » 11 дек 2013, 19:12

zykov писал(а):Source of the post
Нельзя.
Они расходятся на бесконечности.

Разве нельзя сначала написать интеграл с помощью предела, проделать всё, что я говорил, а потом предел вычислить?

Или можно интегрированием по параметру попробовать: там такой проблемы не возникает, похоже. Но автор темы, насколько я понимаю, хочет именно дифференцировать по параметру...

zykov · Сообщение **zykov** » 11 дек 2013, 21:37

Metford писал(а):Source of the post
Разве нельзя сначала написать интеграл с помощью предела, проделать всё, что я говорил, а потом предел вычислить?

Теоретически можно, только оно не упрощает.

Там нужно рассмотреть интеграл, как фцнкцию f(a,b ). При этом f(a,a)=0. Можно рассмотреть производную этой функции по одному из параметров. Там интеграл берется. А потом результат проинтегрировать от (a,a) до (a,b ).

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 11 дек 2013, 21:58

Гость писал(а):Source of the post
Пожалуйста, помогите вычислить интеграл, или объясните принцип по которому это можно сделать:

$\int_{0}^{\infty}{(e^{-a/x^2}-e^{-b/x^2})dx}$ , a>0, b>0

Может быть, легче будет объяснить, почему это нельзя сделать, если a не равно b?..

yourdomain.com